1.4.2 Переключательные функции, сохраняющие нуль.

Определение 1.4.2. Если переключательная функция на нулевом наборе аргументов (т.е. на наборе 0,0, …,0) равна нулю, то говорят, что эта функция сохраняет нуль.

Для переключательных функций, сохраняющих нуль, выполняется следующее условие:

f(0, …,0)=0.

1.4.3 Переключательные функции, сохраняющие единицу.

Определение 1.4.3. Если переключательная функция на единичном наборе аргументов (т. е. на наборе 1,1, ..., 1) равна единице, то говорят, что эта функция сохраняет единицу.

Другими словами, если переключательная функция сохраняет единицу, то выполняется условие

f(1, …,1)=1.

 

1.4.4 Монотонные переключательные функции.

Для того чтобы определить монотонную переключательную функ­цию, введем критерий сравнения двух наборов аргументов.

Определение 1.4.4. Если значение каждого аргумента од­ного набора больше или равно значению того же аргу­мента второго набора, то говорят, что первый набор не меньше второго.

Подчеркнем, что это определение требует выполне­ния условия «больше или равно» для всех значений аргументов. Если же некоторые из значений аргумен­тов первого набора больше или равны, а другие мень­ше значений тех же аргументов второго набора, то та­кие наборы называются несравнимыми. Например, на­бор 1101 (х₁=1,x₂=1,x₃ =0, x₄=1) больше набора 1100 (х₁=1,x₂=1,x₃ =0, x₄=0), так как на этих на­борах значения аргументов х₁, x₂, x₃ равны, а значение аргумента x₄ на первом наборе больше, чем на втором. Аналогично можно проверить выполнение следующих неравенств: 01101 >01000; 1011> 1000.

Два набора аргументов х₁, x₂, x₃, x₄, имеющих значе­ния 1010 и 0110, несравнимы, так как значение аргу­мента х₁ больше на первом наборе, а аргумента x₂— на втором. Приведем еще несколько примеров несрав­нимых наборов: 01 и 10; 100 и 001; 1110 и 1001.

Определение 1.4.5. Переключательная функция называется монотонной, если при любом возрастании набора значения этой функции не убывают.

Например, для функций двух аргументов (см. табл. 1.4), учитывая, что наборы 01 и 10 несравнимы, найдем, что функции fo(x, у), f₁(x, у}, f₃(x, у) моно­тонны.

Функция f₂(x, у) немонотонна, так как на наборе 10 она равна единице, а на большем наборе 11—нулю; f₄(x, у) имеет немонотонность при переходе от набора 01 к набору 11.

Функция f₅(x, y)—монотонная функция, хотя на первый взгляд может показаться, что она немонотонна, так как в таблице ее значений есть переход от единицы к нулю. Однако этот переход существует на несравнимых наборах 01 и 10, а для любой пары сравнимых наборов условие монотонности выполняется.

1.4.5 Самодвойственные переключательные функции.

Для определения самодвойственных функций введем поня­тие противоположных наборов.

Определение 1.4.6. Два набора аргументов называются противоположными если все значения аргументов одного набора противоположны значениям аргументов другого набора.

Чтобы получить противоположный набор, достаточно заменить в данном наборе нули единицами, а едини­цы—нулями. Приведем примеры противоположных на­боров: 101100 и 010011; 1111 и 0000; 10101 и 01010.

В общем случае два противоположных набора можно записать следующим образом: х₁, х₂, х₃, ..., x_n и

Определение 1.4.7. Переключательная функция называется самодвойственной, если на каждой паре противоположных наборов она принимает противоположные значения, т. е. если выполняется условие

или, что то же самое

.

Найдем самодвойственные переключательные функ­ции двух аргументов в табл. 1.4. Эта таблица содержит две пары противоположных наборов: 0,0 и 1,1; 0,1 и 1,0. Следовательно, самодвойственные функции должны иметь противоположные значения в первом-четвертом и втором-третьем столбцах значений аргументов.

В табл. 1.6 принадлежность функции тому или иному классу помечена звездочкой в соответствующем столбце.