Разработка прогноза с помощью метода наименьших квадратов. Пример решения задачи

Экстраполяция - это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. К методам экстраполяции относятся метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми и расчетными величинами. Расчетные величины находятся по подобранному уравнению – уравнению регрессии. Чем меньше расстояние между фактическими значениями и расчетными, тем более точен прогноз, построенный на основе уравнения регрессии.

Теоретический анализ сущности изучаемого явления, изменение которого отображается временным рядом, служит основой для выбора кривой. Иногда принимаются во внимание соображения о характере роста уровней ряда. Так, если рост выпуска продукции ожидается в арифметической прогрессии, то сглаживание производится по прямой. Если же оказывается, что рост идет в геометрической прогрессии, то сглаживание надо производить по показательной функции.

Рабочая формула метода наименьших квадратов: У t+1 = а*Х + b, где t + 1 – прогнозный период; Уt+1 – прогнозируемый показатель; a и b - коэффициенты; Х - условное обозначение времени.

Расчет коэффициентов a и b осуществляется по следующим формулам:

где, Уф – фактические значения ряда динамики; n – число уровней временного ряда;

Сглаживание временных рядов методом наименьших квадратов служит для отражения закономерности развития изучаемого явления. В аналитическом выражении тренда время рассматривается как независимая переменная, а уровни ряда выступают как функция этой независимой переменной.

Развитие явления зависит не от того, сколько лет прошло с отправного момента, а от того, какие факторы влияли на его развитие, в каком направлении и с какой интенсивностью. Отсюда ясно, что развитие явления во времени выступает как результат действия этих факторов.

Правильно установить тип кривой, тип аналитической зависимости от времени – одна из самых сложных задач предпрогнозного анализа.

Подбор вида функции, описывающей тренд, параметры которой определяются методом наименьших квадратов, производится в большинстве случаев эмпирически, путем построения ряда функций и сравнения их между собой по величине среднеквадратической ошибки, вычисляемой по формуле:

где Уф – фактические значения ряда динамики; Ур – расчетные (сглаженные) значения ряда динамики; n – число уровней временного ряда; р – число параметров, определяемых в формулах, описывающих тренд (тенденцию развития).

Недостатки метода наименьших квадратов:

• при попытке описать изучаемое экономическое явление с помощью математического уравнения, прогноз будет точен для небольшого периода времени и уравнение регрессии следует пересчитывать по мере поступления новой информации;

• сложность подбора уравнения регрессии, которая разрешима при использовании типовых компьютерных программ.

Пример применения метода наименьших квадратов для разработки прогноза

Задача. Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, %

Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль	Август	Сентябрь	Октябрь
2,99	2,66	2,63	2,56	2,40	2,22	1,97	1,72	1,56	1,42

• Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь, январь месяцы, используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.

• Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.

• Сравните полученные результаты, сделайте выводы.

Решение методом наименьших квадратов

Для решения составим таблицу, в которой будем производить необходимые расчеты:

Определим условное обозначение времени как последовательную нумерацию периодов базы прогноза (графа 3). Рассчитаем графы 4 и 5. Расчетные значения ряда Ур определим по формуле У t+1 = а*Х + b, где t + 1 – прогнозный период; Уt+1 – прогнозируемый показатель; a и b - коэффициенты; Х - условное обозначение времени.

Коэффициенты a и b определим по следующим формулам:

где, Уф – фактические значения ряда динамики; n – число уровней временного ряда. а = [107,55 – (55*22,13)/10] / [385 – 55²/10] = - 0,17 b = 22,13/10 – (-0,17)*55/10 = 3,15

Далее определяем прогнозное значение: У ноябрь = -0,17*11 + 3,15 = 1,28 У декабрь = -0,17*12 + 3,15 = 1,11 У январь = -0,17*12 + 3,15 = 0,94

Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:

ε = 28,63/10 = 2,86% < 10% - точность прогноза высокая.

Вывод: Сравнивая результаты, полученные при расчетах методом скользящей средней, методом экспоненциального сглаживания и методом наименьших квадратов, можно сказать, что средняя относительная ошибка при расчетах методом экспоненциального сглаживания попадает в пределы 20-50%. Это значит, что точность прогноза в данном случае является лишь удовлетворительной.

В первом и третьем случае точность прогноза является высокой, поскольку средняя относительная ошибка менее 10%. Но метод скользящих средних позволил получить более достоверные результаты (прогноз на ноябрь – 1,52%, прогноз на декабрь – 1,53%, прогноз на январь – 1,49%), так как средняя относительная ошибка при использовании этого метода наименьшая – 1,13%.

Поделиться…

Список использованных источников

1. Научно-методические рекомендации по вопросам диагностики социальных рисков и прогнозирования вызовов, угроз и социальных последствий. Российский государственный социальный университет. Москва. 2010;

2. Владимирова Л.П. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учеб. пособие. М.: Издательский Дом «Дашков и Ко», 2001;

3. Новикова Н.В., Поздеева О.Г. Прогнозирование национальной экономики: Учебно-методическое пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 2007;

4. Слуцкин Л.Н. Курс МБА по прогнозированию в бизнесе. М.: Альпина Бизнес Букс, 2006.

http://old.exponenta.ru/EDUCAT/class/courses/vvm/theme_7/theme_ex7.asp

Пример 1. Приближение функции по методу наименьших квадратов.

Пусть функция задана таблицей своих значений:

x	-3	-1	0	1	3
y	-4	-0.8	1.6	2.3	1.5

Приблизим функцию многочленом 2-ой степени. Для этого вычислим коэффициенты нормальной системы уравнений:

,  ,  , 

,  , 

Составим нормальную систему наименьших квадратов, которая имеет вид:

Решение системы легко находится: ,  ,  .

Таким образом, многочлен 2-ой степени найден:  .

Пример 2. Нахождение оптимальной степени многочлена
Векторы исходных данных:
Функция mnk, строящая многочлен степени m по методу наименьших квадратов,  возвращает вектор a коэффициентов многочлена:
		- формирование вектора правой части и матрицы нормальной системы Гa=b метода наименьших квадратов (базисные функции - 1, x, ,   ...,   )
		- встроенная функция MATHCAD, решает систему линейных алгебраических уравнений Ga=b
Входные параметры: x, y - векторы исходных данных; n+1 - размерность x,y.
Вычисление коэффициентов многочленов степени 0,1,2,3 по методу наименьших квадратов:
Функция P возвращает значение многочлена степени m в точке t;многочлен задается с помощью вектора коэффициентов a:
Функция   возвращает значение среднеквадратичного уклонения многочлена P(a,m,t):
Вычисление значений   , m=0,1,2,3:
Вывод : оптимальная степень m*=1; многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения: P1(x)=4.465-2.917x Графики многочленов степени 0,1,2,3 и точечный график исходной функции:

Пример 3. Вывод нормальной системы уравнений для нахождения параметров эмпирической зависимости.

Выведем систему уравнений для определения коэффициентов   и   функции  , осуществляющей среднеквадратичную аппроксимацию заданной функции   по   точкам. Составим функцию  и запишем для нее необходимое условие экстремума:

Тогда нормальная система примет вид:

Получили линейную систему уравнений относительно неизвестных параметров и, которая легко решается.

http://lumpics.ru/the-least-squares-method-in-excel/