5. Численное интегрирование

Вычислить интеграл по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций, парабол. n=6.

Вычисляем интеграл по формулам средних прямоугольников, трапеций, парабол.

a	0
b	3
n	6
h	0,5
Ср. прям	39,23419
Трапеций	53,68516
Симпсона	52,63814

Программа

Public Function F(x)

F = 7 * x ^ 2 - 3 * Sqr(x)

End Function

Public Sub Integr()

a = Cells(1, 2)

b = Cells(2, 2)

n = Cells(4, 2)

s1 = 0: s2 = 0: s3 = 0

h = (b - a) / n

Cells(5, 2) = h

x = a

Do While x < b

s1 = s1 + F(x) * h

x = x + h

Loop

Cells(6, 2) = s1

s2 = (F(a) + F(b)) / 2

x = a + h

Do While x < b

s2 = s2 + F(x)

x = x + h

Loop

s2 = s2 * h

Cells(7, 2) = s2

h = (b - a) / 2 / n

s3 = 0

x = a

Do While x < b

s3 = s3 + h * (F(x) + 4 * F(x + h) + F(x + 2 * h)) / 3

x = x + 2 * h

Loop

Cells(8, 2) = s3

End Sub

5. Решение Задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Решить задачу Коши методами Эйлера, модифицированным методом и методом Рунге-Кутты на заданном отрезке:

.

Программы

Public Function f(x, y)

f = y - 2 * x * x + 3

End Function

Public Sub Prog1() // Метод Эйлера

k = 0

x = 0

h = 0.2

y = 4

Do While x <= 1

y = y + h * f(x, y)

Cells(2 + k, 1) = k

Cells(2 + k, 2) = x

Cells(2 + k, 3) = y

k = k + 1

x = x + h

Loop

End Sub

Public Sub prog2() // Модифицированный метод Эйлера

k = 0

x = 0

h = 0.2

y = 4

Do While x <= 1

y1 = y + h * f(x, y)

y = y + h * (f(x, y) + f(x + h, y1)) / 2

Cells(2 + k, 5) = x

Cells(2 + k, 6) = y

k = k + 1

x = x + h

Loop

End Sub

Public Sub prog3() //Метод Рунге-Кутта

k = 0

x = 0

h = 0.2

y = 4

Do While x <= 1

k0 = h * f(x, y)

k1 = h * f(x + h / 2, y + k0 / 2)

k2 = h * f(x + h / 2, y + k1 / 2)

k3 = h * f(x + h, y + k2)

y = y + (k0 + 2 * k1 + 2 * k2 + k3) / 6

Cells(2 + k, 8) = x

Cells(2 + k, 9) = y

k = k + 1

x = x + h

Loop

End Sub

Результат работы программы:

k	x	y		x	y		x	y
0	0	5,4		0	5,532		0	5,544187
1	0,2	7,064		0,2	7,36744		0,2	7,395424
2	0,4	9,0128		0,4	9,537877		0,4	9,58627
3	0,6	11,27136		0,6	12,08181		0,6	12,15649
4	0,8	13,86963		0,8	15,04621		0,8	15,15465
5	1	16,84356		1	18,48837		1	18,64008

5. Приближение функции по методу наименьших квадратов (мнк)

Приближение функции по методу наименьших квадратов (МНК).

Методом наименьших квадратов найти зависимость между x и y:

х	-1	0	1	2
y	-6	-1	4	9

А) Подобрать аппроксимирующий полином первой степени y=ax+b.

i	xi	yi	xi2	xiyi
1	-1	-6	1	6
2	0	-1	0	0
3	1	4	1	4
4	2	9	4	18
	2	6	6	28

Ответ: y=ax+b=5x-1

Б) Подобрать аппроксимирующий полином второй степени y=ax²+bx+c.

i	xi	yi	xi2	xi3	xi4	xiyi	xi2yi
1	-1	-6	1	-1	1	6	-6
2	0	-1	0	0	0	0	0
3	1	4	1	1	1	4	4
4	2	9	4	8	16	18	36
	2	6	6	8	18	28	34

Эту систему решаем методом Гаусса. Получаем:

Ответ: y=ax²+bx+c=5x-1