4. Объемные резонаторы

4.1. Электромагнитные поля в объемных резонаторах

О бъемные резонаторы, представляют собой отрезки волноводов или линий передачи с металлическими стенками в торцах. Вид волновода определяет вид резонатора: прямоугольный, круглый цилиндрический, коаксиальный. В замкнутом объеме электромагнитное поле может существовать только в виде колебаний. Поэтому надо установить условия при которых возможно возникновение колебаний в замкнутом объеме. Электромагнитные колебания в объеме вне связи с источником возбуждения называются свободными или собственными колебаниями. Связь резонатора с источником возбуждения создает вынужденные колебания. Рассмотрим условия возникновения собственных колебаний. На рис. 4.1 изображен отрезок волновода произвольного поперечного сечения длинною l, короткозамкнутый по направлению распространения волны. В волноводе с идеально проводящими стенками могут существовать Н и Е волны. Поперечные компоненты Н волн определяются через продольную компоненту магнитного поля как

, . (4.1)

Поперечные компоненты Е волн определяются через продольную компоненту электрического поля

, . (4.2)

В этих соотношениях – поперечное волновое число, известное из раздела 1. Зависимость полей волновода от z определяется экспоненциальным множителем . В замкнутом объеме электромагнитное поле может существовать только в виде волн отраженных от к.з. торцов и распространяющихся в противоположных направлениях. Эти волны идентичны на поперечном сечении. Поэтому поперечный вектор результирующего электрического поля в резонаторе можно представить в виде

. (4.3)

Поперечный вектор напряженности электрического поля (4.3), касателен к торцам волновода и, следовательно, обращается в ноль на их поверхностях. При поперечный вектор при условии, что слагаемые в (4.3) имеют разные знаки, поэтому (4.3) преобразуется к виду

. (4.4)

При поперечный вектор , что приводит к уравнению , откуда

, (4.5)

где .

Постоянные распространения и связаны между собой соотношением , где . Значения и дискретны, поэтому электромагнитное поле в объемном резонаторе существует только на дискретных частотах, определяемых соотношением . Эти частоты называются резонансными или собственными частотами резонатора. Например, резонансные частоты прямоугольного резонатора, образуют ряд дискретный значений,

. (4.6) а поля резонатора магнитного и электрического типа обозначаются как ,

На резонансных частотах длина резонатора в соответствии с (4.5) кратна половине длине волны в волноводе . Значение может быть равно нулю и это не противоречит граничному условию на торцах волновода. Однако, для Н колебаний случай ( ) не имеет физического смысла, так как в соответствии с (4.1) в объеме резонатора , что равносильно обращению в нуль , это противоречит граничному условию для нормальной составляющей напряженности магнитного поля на идеально проводящей поверхности. Следовательно, электромагнитное поле в цилиндрических резонаторах не существует. Для Е волн при ( ) равенство нулю поперечного вектора отвечает граничному условию на торцах резонатора . Однако, в этом случае, длина резонатора становится неопределенной, так как в соответствии с (4.5) , и следовательно, резонанс возможен при любой длине резонатора. Таким образом, резонансные частоты типов колебаний цилиндрических резонаторов равны , а в структуре поля отсутствуют поперечные составляющие электрического поля (4.2).

Для нахождения полей в объемных резонаторах, преобразуем соотношения (4.1) и (4.2). Эти соотношения получены для волноводов при условии зависимости электромагнитного поля от оси в виде . Дифференцирование по равносильно умножению на , поэтому, при вычислении полей объемных резонаторах в соотношениях (4.1) и (4.2) надо заменить на производную . Таким образом, для объемных резонаторов связь между поперечными и продольными составляющим можно представить в виде:

- для Е полей

, . (4.7)

- для Н полей

, , (4.8)

Дифференцирование по в соотношениях (4.7), (4.8) не меняет фазовый сдвиг между электрическим и магнитным полем. Поэтому между ними сохраняется фазовый сдвиг во времени . Таким образом, поле резонатора имеет колебательный характер: в момент максимального значения магнитного поля, электрическое поля равно нулю и наоборот.