3.3. Матрица рассеяния т – образного тройника в е плоскости

В ыполним расчет матрицы рассеяния симметричного Т – образного тройника, образованного соединением прямоугольных волноводов, показанным на рис. 3.4. Тройник симметричен относительно одной плоскости симметрии: горизонтальные плечи совмещаются друг с другом при отражении в плоскости симметрии.

Преобразованию симметрии (отражению в плоскости) можно соотнести оператор , который преобразует вектор падающих и рассеянных волн в исходной конфигурации в новые векторы , , отвечающие новой конфигурации, которая отличается только переменой нумерации плеч сочленения , . Оператор , отвечающий за перемену нумерации входов, представляет собой матрицу, в каждой строке и столбце которой стоят , а остальные элементы равны нулю. Отрицательный знак означает возможное изменение поляризации волны на противоположную при отражении. Новые векторы падающих и отраженных волн связаны между собой матрицей рассеяния, которая инвариантна преобразованиям симметрии, поэтому . Из этого соотношения следует, что . В исходной конфигурации , поэтому получим . Таким образом, матрицы и коммутативны, то есть . Умножим соотношение коммутативности справа на обратную матрицу , получим или . Можно показать, что обратная матрица , образованная нулями и единицами элементами равна своей транспонированной . Для симметричной матрицы . Таким образом, матрица , отвечающая операции симметрии определяет свойства матрицы рассеяния через соотношения или .

Запишем оператор , отвечающий операции отражения в плоскости симметрии E – тройника рис. 3.4. Из общих соображений ясно, что при отражении плечи тройника один и два меняются местами, а при отражении третьего плеча происходит изменение знака электрического поля на противоположное. Поэтому матрицу можно представить в виде . Матрица рассеяния тройника симметричная, поэтому соотношение коммутативности принимает вид

.

После перемножения матриц получим

.

Матрицы равны, если равны элементы, стоящие на одинаковых позициях, следовательно, и . Поэтому матрица рассеяния Е тройника, отвечающая его симметрии должна иметь вид

.

Если тройник не имеет потерь, то матрица унитарная. Из свойств унитарности (3.16), (3.17) следует, что

, .

Э лементы матрицы вещественны, поэтому , а квадраты модулей равны значениям квадратов элементов матрицы рассеяния. Как видно, преобразование симметрии допускает, что в общем случае , . Это отвечает конструкции Е тройника рис. 3.4, в которой узкие стенки вертикального и горизонтального волноводов не равны друг другу. При этом соединение волноводов сохраняет симметрию относительно плоскости отражения.

Перейдем к вычислению элементов матрицы рассеяния на основании эквивалентного представления волноводного Е тройника. В эквивалентном представлении волноводы заменяются двухпроводными линиями, физическим аналогом которых являются широкие стенки волноводов. Поэтому, в рассматриваемом соединении линии передачи, эквивалентные волноводам, соединены последовательно и образуют волновой шестиполюсник рис. 3.5а. Рассмотрим матрицу рассеяния тройника образованного идентичными волноводами. В этом случае для нормированных волн волновые сопротивления эквивалентных линий передачи одинаковы и равны единице. Элементы матрицы рассеяния определяются при условии согласования плеч. Поэтому, сопротивления нагрузки в плоскости симметрии у всех трех плеч шестиполюсника одинаковы и равны удвоенному нормированному волновому сопротивлению. На рис. 3.5.б. представлена эквивалентная схема плеч тройника каждая из которых нагружена на последовательное соединение волновых сопротивлений других двух плеч. Следовательно, диагональные элементы матрицы рассеяния тройника равные коэффициентам отражения одинаковы. В соответствии с определением коэффициента отражения в линии с волновым сопротивлением нагруженной на (без учета реактивности в месте соединения волноводов) (2.17) получим, что .

Из свойств унитарности матрицы рассеяния следует, что , и . Таким образом , . Выбор отрицательного знака у или произволен. Противоположный знак элементов матриц отвечает противофазному возбуждению плеч 1, 2 со стороны плеча 3. Действительно электрическое поле нормально к плоскости симметрии и касательная составляющая в плоскости симметрии равна нулю только при условии, что в плечах 1, 2 электрические поля противофазны рис. 3.5.а. Таким образом, матрица рассеяния Т - образного сочленения идентичных волноводов имеет вид

.

Не нарушая симметрии сочленения его можно согласовать по плечу 3. В этом случае . Это возможно, если волновое сопротивление плеча 3 равно . Волновое сопротивление волновода (1.29), (1.31) можно увеличить вдвое, если увеличить вдвое его высоту. В Т – образном сочленении это не изменит симметрии относительно плоскости. Положив из условия унитарности получим . Следовательно, при согласовании плеча 3 и устройство делит мощность, поступающую в плечо 3 поровну между плечами 1 и 2 при этом сохраняется противофазное состояние в плечах 1 и 2, . В согласованном тройнике сопротивление нагрузки в плоскости симметрии для горизонтальных плеч равно , поэтому . Из свойств унитарности получим, что . Таким образом, при согласовании плеча 3 матрица рассеяния имеет вид

. (3.21)

Запишем систему уравнений, связывающую падающие и рассеянные волны в Т – сочленении. В соответствии с (3.21) и (3.6) запишем

. (3.22)

Допустим, что в плечи 1 и 2 поступают противофазные поля с равными амплитудами, а плечо 3 подключено к согласованной нагрузке, то есть . Зададим , . Из (3.22) следует, что в этом случае , а . Таким образом, суммарная мощность двух плеч поступает в плечо три.

Допустим, что волновое сопротивление вертикального плеча и не равно волновым сопротивлениям горизонтальных плеч. Это возможно при разных размерах узких стенок плеч. В этом случае сопротивление нагрузки в плоскости симметрии для плеча 3 и плеч 1 и 2 будут разными и, следовательно, , а из свойств унитарности следует, что .

Отметим еще одно важное свойство волноводного тройника: не нарушая симметрии его нельзя согласовать по первому и второму плечу, и по всем трем плечам. Если положить , то из уравнения унитарности следует, что , то есть вертикальный волновод не связан с горизонтальным. Если тройник считать согласованным по всем трем плечам, надо положить . В этом случае, из унитарности матрицы рассеяния, следует , что приводит к отсутствию связи между всеми волноводами, образующими тройник.