4.3.3. Свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины.
Пусть дискретная случайная величина принимает конечное или счетное число значений. Каждому значению дискретной случайной величины отвечает его вероятность. Последовательность таких пар образует ряд распределения дискретной случайной величины. Среднее значение есть взвешенная средняя всех возможных значений случайной величины, роль весов играют вероятности.
Ожидаемое среднее значение случайной величины называется математическим ожиданием. Причина такого названия состоит в том, что среднее значение случайной величины есть оценка, которую ожидают получить. Математическое ожидание обозначается М(Х) или Е(Х).
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х (т.е. принимающей только конечное или счетное множество значений х1, х2, … хn соответственно с вероятностями р1, р2, … рn), равно сумме произведений значений случайной величины на соответствующие им вероятности:
(4.53).
Свойства математического ожидания:
Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:
М(С) = С.
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = С М(Х).
Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа n случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий:
М(Х1 + Х2 + …. + Хn) = М(Х1) + М(Х2) + …. + М(Хn).
Математическое ожидание произведения конечного числа n независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
М(Х1 * Х2 * …. * Хn) = М(Х1) * М(Х2) * …. * М(Хn).
Математическое ожидание произведения двух случайных величин х1 и х2 равно сумме произведений их математических ожиданий и их ковариации:
М(Х1 * Х2) = М(Х1) * М(Х2) + cov(X1,X2).
Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = M({X – M(X)} ) или
D(X) = M(X ) – (M(X)) .
Свойства дисперсии:
Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(C) = 0.
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:
D(C * X) = C D(X).
Дисперсия суммы (разности) конечного числа n независимых случайных величин равна сумме (разности) их дисперсий:
D(Х1 + Х2 + …. + Хn) = D(Х1) + D(Х2) + …. + D(Хn).
Дисперсия суммы (разности) двух случайных величин Х1 и Х2 равна сумме (разности) их дисперсий и удвоенной ковариации между ними:
D(Х1 + Х2) = D(Х1) + D(Х2) + 2*cov(X1, X2).
Пример: X и Y – случайные величины. М(Х) = 2, M(Y) = 1.5.
Найти M(2*X - Y).
Ответ: 2.5.
Пример: X и Y – случайные величины. D(Х) = 2, D(Y) = 3.5. Найти D(X + Y).
Ответ: Указанных данных недостаточно, так как неизвестна ковариация между переменными X и Y (см. свойство дисперсии № 4).
Пример: Х и Y – независимые случайные величины. D(X) = 1.5, D(Y) = 2. Найти D(X+Y).
Ответ: 3.5
Пример: X – случайная величина. М(Х) = 2.5, D(X) = 1.5. Найти D(3*X + 4).
Ответ: 13.5.