4.1.5. Двусторонний поток платежей, чистая приведённая величина.

Финансовая операция может предусматривать неоднократные и разновременные переходы денежных сумм от одного владельца к другому. Рассматривая поток платежей с позиции одного из них, можно считать все поступления к нему положительными величинами, а все выплаты – отрицательными. Для оценки финансовой операции в целом используется чистая приведённая величина (net present value, NPV), вычисляемая по формуле , но с учётом знака величины .

Пример: Контракт между фирмой и банком предусматривает, что банк предоставляет в течение 2-х лет кредит фирме ежегодными платежами в размере 1 млн. руб. в начале каждого года под ставку 10% годовых. Фирма возвращает долг, выплачивая 1 и 1.5 млн. руб. в конце 2-го и 3-го годов. Какова NPV этой операции для банка?

+1 +1.5

-1 -1

NPV = -1 – 1* + 1* + 1.5 * = 0.044 млн. руб.

Поскольку результат положителен, то эта операция является для банка приемлемой.

4.1.6. Непрерывная ставка (сила роста) и дисконт.

В теоретическом анализе, а иногда на практике, когда платежи поступают или изымаются многократно за период оценки работы финансового учреждения, удобно предполагать, что накапливаемые суммы непрерывно меняются во времени. Если S(t) – сумма в любой момент времени t, то её скорость роста, производная по времени, по определению равна:

(4.15).

Отношение скорости роста к текущему значению называется силой роста или непрерывной ставкой процента ( дельта):

, (4.16),

т.е. сила роста является производной натурального логарифма изменяющейся суммы S(t). Величина дельта также может зависеть от времени. Если сила роста (t) задана, то можно найти накопленную за любое время Т сумму:

.

При постоянной силе роста (t) = = const получаем:

(4.17),

где число «е» – основание натурального логарифма, оно равно 2.718.

Приведение дохода с дискретным наращиванием к эквивалентному

доходу с непрерывным наращиванием.

Для преобразования доходов с дискретным наращиванием к доходам с непрерывным наращиванием необходимо, чтобы сумма денег, инвестированная под непре­рывную процентную ставку, имела такую же будущую стои­мость, что и подобная сумма, инвестированная под эквивалент­ную дискретную процентную ставку. Таким образом:

или .

Пример: Инвестор вкладывает в банк сумму равную 1000 рублей под 10% годовых. Процент начисляется непрерывно. Какую сумму денег он получит на счете через 3 года?

Решение: Применяя формулу (4.17) получим: .

4.2. Оценка стоимости и доходности ценных бумаг.

4.2.1. Облигации.

Выше в этой лекции отмечено, что финансовые инструменты оце­ниваются исходя из суммы текущих стоимостей всех ожидаемых будущих денежных потоков, а фьючерсные и форвардные контракты - по будущей стоимости текущего денежного потока. Здесь мы продемонстрируем использование процентных ставок в процессах дисконтирования и наращивания в оценке банковских депозитных сертификатов, казначейских векселей, облигаций с нулевым купоном, купонных облигаций и акций компаний. По­мимо этого мы рассмотрим, как оцениваются фьючерсные и форвардные контракты. В первую очередь мы должны познако­миться с некоторыми рыночными соглашениями относительно методов наращивания по основным долговым обязательствам, су­ществующим на финансовых рынках.

Уже отмечено выше, что сегодня стоимость некоторой суммы денег, обещанной в будущем, меньше, чем ее будущая стои­мость. Даже в мире, характеризующемся отсутствием рисков, это условие по-прежнему будет выполняться, потому что денежные средства могли быть инвестированы по процентной ставке, сво­бодной от риска. Поэтому будущая стоимость денег, инвестиро­ванных сегодня, будет больше стоимости этой же суммы, обещанной в будущем. В мире, в котором мы живем и который ха­рактерен наличием рисков, существует ряд неопределенностей, касающихся стоимости денег, обещанных в будущем, таких, как инфляция и невыполнение договорных обязательств.

Для сравнения стоимостей различных денежных потоков в разные периоды времени в будущем необходимо дисконтировать будущие потоки наличности и привести их к текущей стоимо­сти. Текущая стоимость - это сумма, которая при инвестирова­нии под существующую процентную ставку до определенной даты платежа имела бы стоимость, равную по величине сумме платежа, обещанного в этот момент в будущем.

Дискретное дисконтирование. Во многих финансовых опера­циях, даже краткосрочных, при дисконтировании используются сложные проценты. В этом случае для дисконтирования будущих денежных потоков и приведения их к текущей стоимости необ­ходимо денежный поток разделить на дисконтный множитель (1 + ставка дисконтирования, выраженная в виде десятичной дроби) в степени, равной количеству лет до получения денежных средств. Это может быть представлено в следующем виде: инвестиционная, или внутренняя стоимость облигации (или акции), в соответствии с методом капитализации дохода есть суммарная сегодняшняя стоимость потока доходов, обеспечиваемых этой облигацией. Будем считать, что фактические будущие выплаты по облигации в точности соответствуют обещанным и равны С1, С2, …. Сn. Доход выплачивается через равные промежутки времени 1, 2, …, n. Инвестиционная стоимость облигации за n купонных периодов до погашения в этом случае равна:

(4.18).

Если купонные выплаты и процентная ставка, по которой дисконтируются эти выплаты, будут равны между собой, то инвестиционная стоимость облигации будет:

(4.19),

или, применяя формулу для суммы геометрической прогрессии,

(4.20).

Обозначим первое слагаемое в равенстве (4.20) через PV, тогда

(4.21)

представляет собой текущую стоимость аннуитета, а

(4.22)

- будущую стоимость аннуитета. Для бессрочной облигации уравнение (4.22) значительно упрощается:

(4.23).

Такое же уравнение справедливо и для оценки стоимости акции, по которой выплачиваются стабильные дивиденды в размере d рублей:

(4.24).

Если выплачиваемые дивиденды по акциям из года в год увеличиваются на g процентов, то стоимость акции можно оценить по формуле Гордона:

(4.25),

где r – ставка дисконтирования.

Непрерывное дисконтирование. Так же, как и в случае с нара­щением, период между процессами дисконтирования может быть уменьшен до такой степени, что дисконтирование проис­ходит непрерывно.

Формула для непрерывного дисконтирования выглядит так:

(4.26),

где CF – величина денежного потока. Следовательно, при непрерывном дисконтировании число «е» возводится в отрица­тельную степень (-r • n). Например, текущая стоимость 1000 еди­ниц, получаемая через 5 лет и при непрерывном дисконтирова­нии в 10% годовых, равна:

ед.

Пример: Рассчитайте рыночную стоимость облигации (Р) номиналом 10 000 руб. с выплатой ежегодного купонного дохода 9% от номинала и сроком погашения через 3 года, если ставка процента по вкладу в банке составляет 11% годовых.

Решение: .

Пример: По акции был выплачен дивиденд в размере 40 руб. на акцию. Инвестор полагает, что в течение последующих лет темп прироста дивиденда составит 8% в год. Доходность равная риску покупки акции равна 19%. Определить цену акции.

Решение. Используя формулу (1.6.6), получим: руб.

Пример: Инвестор в течение следующих 10 лет в конце каждого года должен выплачивать по своим обязательствам по 30 тыс. руб. Чтобы располагать данными деньгами к концу каждого следующего года, он решает открыть в банке 10-и летний депозит на некоторую сумму денег. По депозиту ежегодно начисляются 6%, средства со счета можно снимать в конце каждого года полностью или частично. Какую минимальную сумму денег необходимо разместить на депозите сегодня, чтобы за счет средств депозита полностью покрыть все свои обязательства?

Решение. По формуле (4.21) PV = 30 000 * (1 – (1 + 0.06)^(-10)) / (0.06) = 220 802.6 руб.