Обратная матрица.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

.

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка. Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая квадратная матрица называется невырожденной.

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы: Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Первый алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Находим определитель исходной матрицы. Если определитель не равен нулю, то исходная матрица невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к А.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу .

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле: .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы, исходя из ее определения .

Пример. Найти матрицу, обратную к данной:

.

Ответ: .

Второй алгоритм вычисления обратной матрицы:

Обратную матрицу можно вычислить на основании следующих элементарных преобразований над строками матрицы:

• перемена местами двух строк;

• умножение строки матрицы на любое число, отличное от нуля;

• прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число, отличное от нуля.

Для того чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы А, необходимо составить матрицу , затем путем элементарных преобразований привести матрицу А к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы получим матрицу .

Пример. Вычислить обратную матрицу для матрицы А:

.

Составляем матрицу В вида:

.

Элемент = 1 и первую строку, содержащую данный элемент, назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный столбец с единицей в первой строке. Для этого ко второй и третьей строкам прибавим первую строку, соответственно умноженную на 1 и -2. В результате этих преобразований получим:

.

Окончательно получим

.

Откуда .

Ранг матрицы. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы А обозначается rang(A) или r(A).

Из определения следует: а) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. r(А) меньше или равен минимальному из чисел m или n; б) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны нулю; в) для квадратной матрицы n-го порядка r(A)=n тогда и только тогда, когда матрица А - невырожденная.

Пример: вычислить ранги матриц:

.

Ответ: r(A)=1. Ответ: r(A)=2.

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5. Транспонирование матрицы.

Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Примеры: Вычислить матрицу , где

; ;

Ответ: .

Пример: Вычислить матрицу , где

; ; ; E – единичная матрица.

Ответ: .

Пример : Вычислить определитель матрицы

.

Ответ: 160.

Пример: Определить, имеет ли матрица А обратную, и если имеет, то вычислить ее:

.

Ответ: .

Пример : Найти ранг матрицы

.

Ответ: 2.

2.4.2. Системы линейных уравнений.

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

,

где , - произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений. Решением системы уравнений называется такая совокупность n чисел ( ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Теорема Крамера: Пусть - определитель матрицы А, составленной из коэффициентов при переменных “х”, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца этой матрицы столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: (j=1, 2, …, n). Эти уравнения получили названия формул Крамера.

Пример. Решить системы уравнений по формулам Крамера:

Ответы: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных, заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних по номеру переменных, находятся все остальные переменные.

Пример: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Ответы: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие утверждения:

• если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система уравнений имеет единственное решение;

• если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.