Операции над матрицами:

1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число называется матрица , элементы которой для i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m на n называется матрица С = A + B, элементы которой для i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n.

3. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц и называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример. Вычислить произведение матриц А и В, где

; .

Ответ: .

Пример. Найти произведения матриц А на В и В на А, где

; .

Ответ: , а .

4. Транспонирование матрицы. Переход от матрицы А к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы. Матрица называется транспонированной относительно матрицы А, если:

; .

Определители квадратных матриц.

Определитель матрицы – это число, характеризующее квадратную матрицу А и тесно связанное с решением систем линейных уравнений. Определитель матрицы А обозначается или . Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону вычисленное некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, n-го порядка этой матрицы. Рассмотрим определители второго и третьего порядков.

Пусть дана матрица

,

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле

.

Пример. Вычислить определитель матрицы А:

Ответ: -10.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

.

Пример. Вычислить определитель матрицы В

.

Ответ: 83.

Вычисление определителя n-го порядка производится на основании свойств определителя и следующей теоремы Лапласа: определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения:

.

Алгебраическое дополнение элемента равно , где - минор элемента , получаемый путем вычеркивания в определителе i-ой строки и j-го столбца.

Минором порядка элемента матрицы А называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Пример. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

.

Ответ: .

Пример. Вычислить определитель матрицы треугольной матрицы:

.

Ответ: -15.

Свойства определителей:

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменится.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведения элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа .

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.