2.2. Распределение Пуассона.

Во многих задачах практики фондового рынка приходится иметь дело со случайными величинами, распреде­ленными по своеобразному закону; который называется за­коном Пуассона.

Рассмотрим прерывную слу­чайную величину X, которая может принимать только целые, неотрицательные значения: 0, 1, 2, ….m, …. причем последовательность этих значений теоретически не ограничена. Говорят, что случайная величина X распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное зна­чение m, выражается формулой

(m = 0, 1, 2, …) (2.11).

где а - некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Убедимся, прежде всего, что последовательность вероятностей, задаваемая формулой (2.11), может представлять собой ряд распределения, т. е. что сумма всех вероятностей Р_m равна единице. Имеем:

.

Но откуда .

На рис. 2.7 показаны многоугольники распределения случайной величины X, распределенной по закону Пуассона, соответствующие различным значениям пара­метра а.

Рис. 2.7. Влияние параметра «а» на вероятность наступления события, распределенного по закону Пуассона.

Определим основные характеристики - математиче­ское ожидание и дисперсию - случайной величины X, распределенной по закону Пуассона. По определению математического ожидания

Первый член суммы (соответствующий т = 0) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m = 1:

Обозначим (m – 1) = k; тогда

Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины X.

Для определения дисперсии найдем сначала второй начальный момент величины Х:

или далее

Далее, используя свойство дисперсии: , получим:

.

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределен­ной по закону Пуассона, равна ее математическому ожи­данию а.

Это свойство распределения Пуассона часто применяется на прак­тике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина X распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики (математиче­ское ожидание и дисперсию) случайной величины. Если их значе­ния близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против гипотезы.

2.3. Логнормальное распределение.

Пусть S(t) - цена этой ценной бу­маги в момент времени t и - цена в момент времени , тогда относительное изменение цены по истечении перио­да будет равно: .

Предположим, что каждое из таких отношений цен на протяже­нии короткого отрезка времени было случайной перемен­ной, независимой и идентично распределенной. Тогда согласно центральной предельной теореме величины приблизительно нормаль­но распределены. Центральная предельная теорема гласит, что если мы рассматриваем большую случайную выборку, то средняя величина ее будет нормально распределена. Таким образом, ко­гда мы разделяем период времени на большое число промежут­ков (больше 30), с чем мы имеем дело, когда рассматриваем время как непрерывное, то сумма натуральных логарифмов будет нормально распределена.

Переменная называется логнормально распределенной, если натуральный логарифм ее нормально распределен. Следовательно, если величина нормально распределена, то величина должна быть распределена логнормально.

Это очень привлекательная модель распределения отношений цен ценных бумаг, потому что, если цена растет, то отношение цен будет больше единицы, если падает - то отношение цен бу­дет меньше единицы, но оно никогда не принимает отрицатель­ного значения. Теперь рассмотрим график функции логнормального распределения на рис. 2.8. На рисунке логнормальное распределение вытянуто вправо, но не имеет отрицатель­ных значений. Это совместимо с возможным распределением цен ценных бумаг, поскольку они не могут упасть ниже нуля, и только очень немногие из наблюдений могли быть очень высоки.

Рис. 2.8. Плотность вероятностей логнормального распределения.

Переменная не может принимать отрицательные значения, и вероятность очень высоких значений приближается к нулю, как это и можно ожидать от переменной, описывающей относитель­ное изменение цены ценной бумаги. Логнормальное распреде­ление очень часто используется для моделирования рыночных цен бумаг на фондовом рынке.

2.4. Математические приложения.

2.4.1. Матрицы.

Матрицей размера m на n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С. Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: , где i – номер строки, j – номер столбца.

Виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой, а из одного столбца – матрицей-столбцом. Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n. Например,

- квадратная матрица третьего порядка.

Элементы матрицы , у которой номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы , , . Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Если у диагональной матрицы все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей и обозначается буквой Е. Например,

- единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого порядка называется нулевой, если все ее элементы равны нулю:

.