3.2.2. Понятие дифференциала

Согласно теореме 3.1.1 функцию можно представить в виде , откуда . Так как – бесконечно малая и стремится к нулю, то вторым слагаемым можно пренебречь. Слагаемое называют дифференциалом функции у=f(х) и обозначают или .

Определение 3.2.3. Дифференциал функции равен произведению ее производной на приращение аргумента:

.

Рассмотрим функцию f(х)=х. Так как , то . Таким образом, считают, что дифференциал аргумента равен его приращению: . Имеем

,

откуда .

Запись ( или ) используется для обозначения производной функции у=f(х).

Пример 4.2.2. Найти дифференциал функции .

○ .●

3.2.3. Правила дифференцирования функций

3.2.3.1. Основные правила дифференцирования функций

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют производную в точке х, то в этой точке имеют производную функции u+v, Cu (где С – некоторое число), uv и функция (при условии, что v0 в точке х). Имеют место следующие правила для их вычисления (правила дифференцирования).

1. Производная константы равна нулю.

2. Производная суммы равна сумме производных.

.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

.

4. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первого множителя на второй и производной второго множителя на первый.

.

5. Производная частного двух функций равна отношению разности произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя к квадрату знаменателя.

, v(х)0.

Данные правила следуют из определения производной. Приведем, например, доказательство правила 2, то есть докажем, что .

Рассмотрим функцию f(x)=u(x)+v(x). Приращение х аргумента в точке х равно х=х₁– х.

Тогда f(x+ x)=u(x+ x)+ v(x+ x).

Приращение функции y=f(x+ x)–f(x)=(u(x+ x)+v(x+ x))–

–(u(x)+v(x))=(u(x+ x)–u(x))+(v(x+ x)–v(x))= u+ v.

Отсюда и

.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

1. dC= 0, C – число.

2. d(Cy)= Cdy.

3. d(u+v)= du+dv.

4. d(uv)= vdu+udv.

5. , v(х)0.

Пример 3.2.3. Найти , , , , , , если u=2x³, v=e^x.

○

;

;

;

;

;

= .●

3.2.3.2. Производная сложной функции

6. Пусть у=f(u), где u=φ(x), причем f(u) имеет производную по u, а φ(x) – по х (то есть существуют и ), тогда

(где нижний индекс указывает, по какой переменной дифференцируется функция) или, в иных обозначениях:

.

Для упрощения понимания процесса нахождения производной сложной функции можно заменить ее эквивалентной системой функций. После чего дифференцировать каждую функцию системы по соответствующей переменной. Окончательный результат получается как произведение полученных производных.

Рассмотрим функцию у=f(g(x))

Найдем производные каждой из функций, входящих в систему. Производную от функции y будем находить по переменной u, а от функции u – по переменной x. . Тогда .

И в более сложной ситуации, приходим к аналогичному правилу вычисления производной. Рассмотрим, например, функцию

у=f(g(h(x)))

и, следовательно, .

Пример 3.2.4.Вычислить производную функции: 1)y=e^2x; 2)

○1. Представим данную функцию в виде системы: Найдем производные от каждой из функций системы: Тогда .

2.

Тогда

.●