3.2 Производная и дифференциал

3 .2.1. Понятие производной. Производные основных элементарных функций

Изучая поведение функции у=f(x) около конкретной точки x₀ (рис. 3.16), важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используются понятия приращений аргумента и функции.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и пусть х₁ – произвольная точка этой окрестности.

Определение 3.2.1. Приращением аргумента при переходе от точки x₀ к точке x₁ называют число х=х₁–x₀, а разность у=f(x₁)–f(x₀) называют приращением функции при этом переходе.

Для приращения функции также применяют обозначение f.

Поскольку х₁– x₀=х, то х₁= x₀+х. Тогда

у=f(x₀+х)–f(x₀).

Определение 3.2.2. Если существует предел отношения приращения функции Δу к вызвавшему его приращению аргумента Δх, когда Δх стремится к нулю, то этот предел называется производной функции у=f(х) в данной точке x₀ и обозначается через :

.

Подчеркнем, что производная функции y – это новая функция, определенная во всех точках х, в которых существует .

Производную функции также обозначают или .

Для нахождения производной функции y=f(x) по определению 3.2.2. необходимо:

-придать аргументу х приращение х;

-найти значение функции в точке x₀+ x, т.е. найти f(x₀+ x);

-найти приращение функции: у=f(x₀+х)–f(x₀);

-составить отношение ;

-вычислить предел .

Пример 3.2.1. Найти производную функции y=f(x)=x².

○Рассмотрим приращение х аргумента в точке х: х=х₁– х.

Тогда f(x+ x)=(x+ x)²=x²+2x x+( x)².

Приращение функции

y=f(x+ x)–f(x)=x²+2x x+( x)²–x²=2x x+( x)².

Отсюда и

.●

Отметим, что если существует предел справа (или предел слева ), то он называется правой (или левой) производной функции f(х) в точке х₀.

Действие нахождения производной функции называется ее дифференцированием, а функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке. При этом, если промежуток от а до b есть отрезок [a; b], то в точке а речь идет о правой производной, а в точке b – о левой производной.

Приведем таблицу производных основных элементарных функций:

1	у=С	, С - постоянная (число)
2	у=xa	, a R, х>0
	Отсюда:
	у=x
	y=
3	у=sin x
4	у=cos x
5	у=tg x	, , k Z
6	у=ctg x	, , k Z
7	у=ax	axln a, а>0
8	у=ex	ex
9	у=logax	, a>0, a1, x>0
10	у=ln x	, x>0
11	у=arcsin x	, x (–1, 1)
12	y=arccos x	, x (–1, 1)
13	у=arctg x
14	у=arcctg x