7.1.6 Входное сопротивление длинной линии

По аналогии с законом Ома в комплексной форме, введенным для цепей с сосредоточенными параметрами, можно ввести комплексное входное сопротивление произвольного сечения длинной линии как отношение комплексных напряжения и тока в данном сечении линии:

. (18)

Тогда в соответствии с системой (17) для любого сечения линии получим:

. (19)

Преобразуем данное выражение, введя новую координату , отсчитываемую от конца линии:

.

Подставляя в данное выражение соотношение для , приводя числитель и знаменатель дроби к общему знаменателю и упростив его, получаем:

Воспользуемся определениями гиперболических функций:

, и .

Тогда выражение для входного сопротивления сечения длинной линии принимает вид:

(20)

Если в рассматриваемой линии отсутствуют потери, то формула для входного сопротивления сечения длинной линии принимает вид:

(21)

Полагая в выражениях (20) и (21) координату получаем входное сопротивление всей длинной линии.

Рассмотрим отрезок длинной линии без потерь длиной . Его входное сопротивление, ввиду бесконечности для , оказывается равным:

. (22)

Данный отрезок длинной линии путем подбора волнового сопротивления может использоваться для трансформации сопротивлений, необходимой для достижения режима согласованной нагрузки, и носит название четвертьволнового трансформатора.

7.1.7 Кпд длинной линии

Электрическая мощность, развиваемая в любом сечении длинной линии, состоит из мощности падающей и отраженной волн. Согласно определению комплексной мощности запишем:

, , (23)

где

, (24)

Упростим данные выражения, введя обозначения для комплексной амплитуды падающей волны в сечении нагрузки:

. (25)

Тогда выражения для комплексных амплитуд тока и напряжения в падающей и отраженной волнах примут вид:

С учетом данных выражений комплексные мощности (23) принимают вид:

Для сечений генератора ( ) и нагрузки ( ) эти выражения имеют вид:

, , (26а)

, . (26б)

Таким образом, комплексная мощность, развиваемая в сечении генератора:

. (27)

Напротив, мощность, поступающая в нагрузку, определяется разностью мощностей падающей и отраженной волн в сечении нагрузки:

. (28)

Тогда КПД длинной линии определяется выражением:

. (29)

Если в длинной линии отсутствуют потери ( ), то выражение для КПД принимает вид:

. (30)

7.1.8 Режимы работы длинной линии без потерь. Амплитудные распределения тока и напряжения в линии

Поскольку длинная линия, как правило, используется для передачи электрической мощности на расстоянии от генератора к нагрузке, то в дальнейшем ограничимся при анализе ее работы рассмотрением так называемых амплитудных распределений тока и напряжения в линии. С этой целью запишем выражения для комплексных тока и напряжения в любом сечении линии без потерь с учетом полученных выше соотношений:

, (31а)

, (31б)

и определим модули этих комплексных выражений:

,

.

Для упрощения данных выражений представим комплексный коэффициент отражения нагрузки в показательной форме записи:

.

Тогда выражения для амплитудных значений тока и напряжения в любом сечении длинной линии без потерь примут вид:

, (32а)

. (32б)

В зависимости от значения сопротивления нагрузки длинной линии модуль комплексного коэффициента отражения нагрузки может оказаться равным нулю, единице или принять какое-либо промежуточное значение от нуля до одного. Эти случаи будут соответствовать отсутствию отражения волны от конца длинной линии, ее полному или частичному отражению, соответственно. В соответствии с этим различают три режима работы длинной линии без потерь. Рассмотрим работу длинной линии без потерь в каждом из этих режимов.