7.1.3 Телеграфные уравнения. Решение телеграфных уравнений для случая установившегося гармонического режима

Для описания изменений тока и напряжения вдоль длинной линии составим уравнения электрического равновесия для бесконечно малого участка длинной линии (рис. 1) по законам Кирхгофа с использованием компонентных соотношений для сосредоточенных элементов. Будем при этом полагать, что длинная линия является однородной.

(1)

Перегруппируем уравнения системы (1) в следующем виде:

(2)

Правые части уравнений системы (2) при предельном переходе есть ни что иное как производные напряжения и тока по пространственной координате, взятые со знаком минус:

(3)

Система уравнений (3) носит название телеграфных уравнений, поскольку впервые была получена именно для этого вида цепей с распределенными параметрами.

В дальнейшем будем рассматривать установившийся гармонический режим вдоль всей длинной линии. Это обусловлено тем, что большинство радиотехнических устройств преимущественно работает с гармоническими сигналами. С этой целью перейдем от мгновенных значений токов и напряжений к их комплексным мгновенным значениям вида:

, . (4)

Тогда производные по времени могут быть легко вычислены:

, , (5)

и после подстановки замен (4), (5) в систему телеграфных уравнений (3) и сокращения всех членов уравнений системы на общий множитель она принимает вид:

(6)

Эта система связанных дифференциальных уравнений первого порядка может быть сведена к дифференциальному уравнению второго порядка относительно комплексной амплитуды либо тока , либо напряжения путем исключения второй неизвестной. Для рассматриваемых далее однородных линий эти уравнения имеют вид:

(3)

Входящая в уравнения (3) комплексная величина носит название комплексного коэффициентом распространения волны в линии.

Рассмотрим одно из дифференциальных уравнений системы (3), например, для напряжения. Общее решение данного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка может быть записано с помощью корней характеристического уравнения ( ):

(4)

Подставляя данное решение в первое уравнение системы (2), получим:

(5)

где - волновое сопротивление длинной линии.

Как видно из полученных выражений, напряжение и ток в любом сечении можно трактовать как суперпозицию двух волн: падающей и отраженной. Первое слагаемое, пропорциональное , описывает падающую волну, распространяющуюся от генератора к нагрузке (в сторону увеличения координаты ). Второе слагаемое, пропорциональное , описывает отраженную волну, распространяющуюся от нагрузки к генератору (в сторону уменьшения координаты ).

Представление комплексного коэффициента распространения в алгебраической форме записи приводит к понятиям коэффициента затухания и коэффициента фазы . Коэффициент затухания описывает уменьшение амплитуды волны по мере ее распространении в линии, а коэффициент фазы – изменение начальной фазы волны по мере ее распространении в линии.¹

Из выражения (5) следует, что величина описывает связь между амплитудами тока и напряжения, как в падающей, так и в отраженной волнах. Именно поэтому данная величина называется волновым сопротивлением².

Величины , и носят называние вторичных параметров длинной линии.

Введем параметры волны, распространяющейся в длинной линии. Для этого запишем мгновенное значение напряжения в падающей и отраженной волнах:

, (6а)

, (6б)

где и - комплексные амплитуды напряжения в падающей и отраженной волнах в сечении длинной линии с координатой .

Тогда длина волны в линии, определяемая как расстояние между двумя сечениями линии, фаза волны в которых отличается на рад:

. (7)

Введем понятие фазовой скорости. Фазовой скоростью¹ назовем скорость движения фронта волны, фаза которого остается постоянной. Тогда, исходя из того, что для падающей волны и для отраженной волны, получаем:

, или ; (8а)

, или . (8б)

Из полученных выражений видно, что падающая и отраженная волны характеризуются одной и той же фазовой скоростью (знак минус указывает лишь на направление движения фронта волны).