1. Последовательная rlc – цепь

Н а входе цепи в момент времени t=0 включаем источник постоянного напряжения E.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа:

П римем, что независимые начальные условия нулевые, т.е

Применим к уравнению преобразования Лапласа:

Выразив изображение тока, получим закон Ома в операторной форме:

Соответствующие ХУ:

• 

В данном уравнении: – постоянная затухания или декремент затухания;

-частота собственных колебаний

Корни характеристического уравнения:

Введем понятие критического сопротивления, определяемого из условия:

• Если R>Rкр – апериодический процесс. D>0; Корни вещественные отрицательные и неравные.

Если , то имеет место апериодический процесс.

Свободная составляющая определяется .

Принужденная составляющая определяется при t = ∞, .

Общий вид реакции: .

• Если R=Rкр – критический процесс (D=0; корни вещественные, отрицательные и кратные

Если , то имеет место критический процесс.

Свободная составляющая определяется .

Общий вид реакции: , где .

• Если R<Rкр – периодический процесс. Дискриминант отрицательный. Корни комплексно – сопряженные, с отрицательной вещественной частью. Колебательный режим

Если , то имеет место колебательный процесс.

,

где – коэффициент затухания,

– частота свободных затухающих колебаний,

– резонансная частота колебательного контура.

Решение определяем в виде:

.

Период свободных затухающих колебаний:

2. П араллельная rlc – цепь

По I закону Кирхгофа:

• =>

Характеристическое уравнение:

• 

Период свободных колебаний:

Метод входного сопротивления (входной проводимости)

• Составляем цепь, соответствующую свободному режиму (для этого удаляем все источники электрической энергии: источники ЭДС замыкаем накоротко, ветви с источниками тока размыкаем).

• Размыкаем цепь в произвольном месте и относительно точек разрыва записываем входное комплексное сопротивление , при этом комплекс емкостного сопротивления , а индуктивного .

• В полученном выражении повсеместно величину заменяем корнем p и приравниваем выражение к нулю.

• Уравнение является характеристическим уравнением.

Следует отметить, что для цепей, содержащих большое количество параллельных ветвей, удобно пользоваться методом входной проводимости. Метод состоит в том, что записывается эквивалентная комплексная проводимость между двумя произвольными узлами послекоммутационной цепи с отключёнными источниками. Далее, как и в предыдущем случае, j заменяется на р и решается уравнение .

Метод главного определителя

• Составляем цепь, соответствующую свободному режиму.

• Выбираем независимые контуры и задаем направление их контурных токов.

• Составляем главный определитель , состоящий из собственных и общих контурных комплексных сопротивлений.

• Повсеместно заменяем на p и приравниваем нулю.

• Уравнение – характеристическое уравнение

.

М етод главного определителя. Выберем независимые контуры и укажем направление их обхода . Составим главный определитель, заменяя на p

Существует еще один способ, основанный на определении постоянной времени, применимый только для цепей I порядка.

Постоянной времени  цепи называют промежуток времени, за который искомая величина изменится в е раз. Время переходного процесса прямо пропорционально  и приближённо равно: .

Для устойчивых цепей (цепей, в которых соблюдается условие ) корни характеристического уравнения должны быть отрицательными или иметь отрицательную действительную часть. Постоянная времени для цепей I порядка связана с корнем характеристического уравнения: .

Причём для цепей, содержащих ёмкость, –  = R_эС, а для цепей, содержащих индуктивность, – =L/R_э, где R_э – эквивалентное сопротивление послекоммутационной цепи, вычисленное относительно зажимов единственного реактивного элемента (накопителя энергии) при удаленных источниках.

2. Набегающие и отраженные волны в длинной линии. Коэффициенты отражения по току и напряжению