Вопрос 11. Параллельное rlc – соединение

Согласно I закону Кирхгофа:

Используя связь между токами и напряжениями на резисторе, индуктивности и ёмкости, получим, так называемое, интегрально-дифференциальное уравнение вида:

Поскольку то после подстановки:

Введем обозначения:

• – амплитуда тока, протекающего через резистор,

• – амплитуда тока, протекающего через ёмкость,

• – амплитуда тока, протекающего через индуктивность,

• – начальная фаза тока, протекающего через резистор,

• – начальная фаза тока, протекающего через ёмкость,

• – начальная фаза тока, протекающего через индуктивность.

По аналогии с треугольником сопротивлений для удобства анализа параллельной цепи вводится понятие треугольника проводимости:

• – реактивная составляющая тока.

• – реактивная проводимость,

• – полная проводимость.

• – фазовый сдвиг между входным напряжением и током цепи.

Если , то наступает резонанс токов . Определим резонансную частоту из условия:

, отсюда [рад/c], [Гц].

Активная и реактивная проводимости цепи связаны с полной проводимостью формулами

.

Для проводимостей также можно построить треугольник проводимостей.

Активная и реактивная составляющие тока определяются следующим образом:

Активная и реактивная составляющие тока связаны с действующим значением суммарного тока формулой . Для токов также можно построить треугольник токов.

Следует отметить, что описывать электрические цепи синусоидального тока, оперируя понятиями мгновенного значения тока и напряжения, достаточно трудоемко и применимо только для простейших электрических цепей, не содержащих большого числа контуров и источников. С усложнением электрических цепей такая форма расчета становится крайне затруднительной и требуется метод, позволяющий рассчитывать электрические цепи переменного тока алгебраически аналогично цепям постоянного тока. Таким удобным расчетным методом служит символический метод.

Вопрос 12. Резонанс

Резонансным режимом или резонансом называется режим работы такого двухполюсника при котором входное сопротивление является чисто активным, он наступает при совпадении частоты собственных колебаний 𝝎₀ с частотой вынужденных колебаний 𝝎, сообщаемых цепи источником энергии (𝝎_{0 =} 𝝎₎

В резонансном режиме колебания энергии между магнитным и электрическим полями замыкаются внутри цепи, обмен энергией между источником и цепью отсутствует, а вся поступающая от источника энергия преобразуется в другие виды, т.е. электрическая цепь по отношению к источнику энергии ведет себя как чисто активное сопротивление R (активная проводимость G). Входное сопротивление и, соответственно, входная проводимость схемы со стороны выводов источника энергии должна носить чисто активный характер.

Или в комплексной форме:

Резонанс напряжений

Резонанс в цепи с последовательным соединением источника энергии и реактивных элементов L и C.

1. Комплексное входное сопротивление схемы:

2. Условие резонанса напряжений: =>

– резонансная (собственная) частота

3. В резонансном режиме полное сопротивление схемы имеет минимальное значение и равно активному сопротивлению: а ток максимален и совпадает по фазе с напряжением источника: .

4. Коэффициент мощности при резонансе то есть принимает наибольшее значение, которому соответствует угол Вектор тока и напряжения совпадают по направлению, так как они имеют одинаковые начальные фазы.

5. Активная мощность имеет наибольшее значение, равное полной мощности S, реактивная мощность цепи Q оказывается равной 0.

6. В каждый момент времени . Учитывая, что , получаем где  – характеристическое, или волновое сопротивление резонансного контура, измеряемое в омах.

7. Отношение напряжения на реактивных элементах ( и ) к напряжению на входе в режиме резонанса называют добротностью контура:

.

Резонансные свойства контура характеризуются добротностью:

.

где – максимальное значение реактивной энергии, запасенной в контуре при резонансе;

– активная энергия, поглощаемая в контуре за период T;

– затухание.

В контуре происходит периодический обмен энергии электрического и магнитного полей, т.е.

.

Значение активной энергии, рассеиваемой в контуре, определяется как:

.

С учетом этого, добротность последовательного колебательного контура:

, либо .

– добротность последовательного колебательного контура.

8. Чем больше и чем меньше активное сопротивление в цепи, тем выше напряжение на реактивных элементах по сравнению с напряжением на входе контура.

Резонанс токов

Резонанс в цепи с параллельным соединением источника энергии и реактивных элементов L и C получил название резонанса токов

1. Комплексная входная проводимость схемы:

2. Выразив B_L и B_С через сопротивления соответствующей ветви, можно определить резонансную частоту контура. В реальных цепях не существует катушек, которые обладают индуктивностью и не обладают активным сопротивлением, что относится и к емкости. Поэтому для случая параллельного соединения невозможно применять условие идеального случая , потому что значение этих сопротивлений влияет на эквивалентные значения индуктивности и емкости.

• Условие резонанса:

3. В резонансном режиме полная проводимость схемы равна активной проводимости и имеет минимальное значение: а ток источника также минимален и совпадает по фазе с напряжением источника (

4. Токи в ветвях с реактивными элементами равны по модулю, противоположны по фазе и компенсируют друг друга, а ток в резисторе G равен току источника

5. волновая проводимость

- добротность контура