7. Колебания и волны

Колебания – изменения какой-либо физической величины, при которых эта величина принимает одни и те же значения. Параметры колебаний:

1) Амплитуда – величина наибольшего отклонения от состояния равновесия;

2) Период – время одного полного колебания, обратная величина – частота;

3) Закон изменения колеблющейся величины со временем;

4) Фаза – характеризует состояние колебаний в момент времени t.

F_x = -r k – восстанавливающая сила

Гармонические колебания - колебания, при которых величина, вызывающая отклонение системы от устойчивого состояния, изменяется по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания являются частным случаем периодических колебаний. Колебания можно представлять графическим, аналитическим (например, x(t) = Asin (t + ), где  - начальная фаза колебания) и векторным способом (длина вектора пропорциональна амплитуде, вектор вращается в плоскости чертежа с угловой скоростью  вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа, проходящей через начало вектора, угол отклонения вектора от оси X есть начальная фаза ). Уравнение гармонических колебаний:

Сложение гармонических колебаний, происходящих вдоль одной прямой с одинаковыми или близкими частотами. Рассмотрим два гармонических колебания, происходящих с одной частотой: x1(t) = A1sin(t + 1); x2(t) = A2sin(t + 2).

Вектор, представляющий собой сумму этих колебаний, вращается с угловой скоростью . Амплитуда суммарного колебаний – векторная сумма двух амплитуд. Ее квадрат равен A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos(2 - 1).

Начальная фаза определяется следующим образом:

, т.е. тангенс  равен отношению проекций амплитуды суммарного колебания на координатные оси.

В случае если частоты колебаний отличаются на величину 2: 1 = 0 + ; 2 = 0 - , где  << . Положим также 1 = 2 = 0 и А1 = А2:

X₁(t)+X₂(t) = A(Sin(W_o+Ω)t+Sin((W_o+Ω)t) X₁(t)+X₂(t) =2ACosΩtSinWφ.

Величина 2Аcost есть амплитуда полученного колебания. Она медленно меняется во времени.

Биения. Результат суммы таких колебаний называется биением. В случае, если А1  А2, то амплитуда биения меняется в пределах от А1 + А2 до А1 – А2.

В обоих случаях (при равных и при различных амплитудах) суммарное колебание не является гармоническим, т.к. его амплитуда не постоянна, а медленно меняется во времени.

Сложение перпендикулярных колебаний. Рассмотрим два колебания, направления которых перпендикулярны друг другу (частоты колебаний равны, начальная фаза первого колебания равна нулю):

x = asint;

y= bsin(t + ).

Из уравнения первого колебания имеем: . Второе уравнение можно преобразовать следующим образом

sintcos + costsin = y/b

. Возведем обе части уравнения в квадрат и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Получим(см ниже): . Полученное уравнение есть уравнение эллипса, оси которого несколько повернуты относительно осей координат. При  = 0 или  =  эллипс принимает вид прямой y = bx/a; при  = /2 оси эллипса совпадают с осями координат.

Фигуры Лиссажу. В случае если 1  2, форма кривой, которую описывает радиус вектор суммарного колебаний гораздо более сложная, она зависит от отношения 1/2. Если это отношение равно целому числу (2 кратна 1), при сложении колебаний получаются фигуры, называемые фигурами Лиссажу.

Гармонический осцилятор – колеблющаяся система, потенциальная энергия которой пропорциональна квадрату отклонения от положения равновесия.

Маятник, твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или оси. В физике под М. обычно понимают М., совершающий колебания под действием силы тяжести; при этом его ось не должна проходить через центр тяжести тела. Простейший М. состоит из небольшого массивного груза C, подвешенного на нити (или лёгком стержне) длиной l. Если считать нить нерастяжимой и пренебречь размерами груза по сравнению с длиной нити, а массой нити по сравнению с массой груза, то груз на нити можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии l от точки подвеса O (рис. 1, а). Такой М. называется математическим. Если же, как это обычно имеет место, колеблющееся тело нельзя рассматривать как материальную точку, то М. называется физическим.

Математический маятник. Если М., отклоненный от равновесного положения C0, отпустить без начальной скорости или сообщить точке C скорость, направленную перпендикулярно OC и лежащую в плоскости начального отклонения, то М. будет совершать колебания в одной вертикальной плоскости по дуге окружности (плоский, или круговой математический М.). В этом случае положение М. определяется одной координатой, например углом j, на который М. отклонен от положения равновесия. В общем случае колебания М. не являются гармоническими; их период T зависит от амплитуды. Если же отклонения М. малы, он совершает колебания, близкие к гармоническим, с периодом:

 ,

где g — ускорение свободного падения; в этом случае период T не зависит от амплитуды, то есть колебания изохронны.

Если отклонённому М. сообщить начальную скорость, не лежащую в плоскости начального отклонения, то точка C будет описывать на сфере радиуса l кривые, заключённые между 2 параллелями z = z1 и z = z2, а), где значения z1 и z2 зависят от начальных условий (сферический маятник). В частном случае, при z1 = z2, б) точка C будет описывать окружность в горизонтальной плоскости (конический маятник). Из некруговых М. особый интерес представляет циклоидальный маятник, колебания которого изохронны при любой величине амплитуды.

Физический маятник. Физическим М. обычно называется твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса (рис. 1, б). Движение такого М. вполне аналогично движению кругового математического М. При малых углах отклонения j М. также совершает колебания, близкие к гармоническим, с периодом:  ,

где I — момент инерцииМ. относительно оси подвеса, l — расстояние от оси подвеса O до центра тяжести C, M — масса М. Следовательно, период колебаний физического М. совпадает с периодом колебаний такого математического М., который имеет длину l0 = I/Ml. Эта длина называется приведённой длиной данного физического М.

Пружинный маятник - это груз массой m, закрепленный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы Fупр= - k x, где k - коэффициент упругости, в случае пружины наз. жесткостью. Ур движения маятника : , или.

Из приведенных выражений следует, что пружинный маятник совершает гармо­нические колебания по закону х = A cos (w0 t +j), с циклической частотой

и периодом

Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выпол­няется закон Гука (Fупр= - k x), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с мас­сой тела.

Потенциальная энергия пружинного маятника равна

U = k x2/2 = m w02 x2/2 .

Вынужденные колебания. Резонанс. Вынужденные колебания происходят под действием внешней периодической силы. Частота вынужденных колебаний задается внешним источником и не зависит от параметров самой системы. Уравнение движения груза на пружине может быть получено формальным введением в уравнение некой внешней силы F(t) = F0sint: . После преобразований, аналогичных выводу уравнения затухающих колебаний, получаем:

, где f0 = F0/m. Решением этого дифференциального уравнения является функция x(t) = Asin(t + ).

Слагаемое  появляется из-за инерционности системы. Запишем f0sin (t - ) = f(t) = f0 sin (t + ), т.е. сила действует с некоторым опережением. Тогда можно записать:

x(t) = A sin t.

Найдем А. Для этого подсчитаем первую и вторую производные последнего уравнения и подставим их в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Послед приведения подобных получим:

. Теперь освежим в своей памяти представления о векторной записи колебаний. Что же мы видим? Вектор f0 представляет собой сумму векторов 2A и A(02 - 2), причем эти вектора (почему-то) перпендикулярны. Запишем теорему Пифагора:

422A2 + A2(02 - 2)2 = f02:

Отсюда выражаем А:

Таким образом амплитуда А является функцией от частоты внешнего воздействия. Однако если колеблющаяся система обладает слабым затуханием  << , то при близких значениях  и 0 происходит резкое возрастание амплитуды колебаний. Это явление получило название резонанса.