Интеграл от неограниченной функции

Если хотя бы в одной точке отрезка интегрирования (или на концах его) функциятерпит разрыв или не определена, то понятие интеграла, как предела интегральных сумм, теряет смысл.

Интегралы от разрывной функции называются несобственными интегралами второго рода.

Определение.Несобственным интегралом от функции, непрерывной прии разрывной в точкеназывается предел интеграла

при, т.е.

Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся.

Аналогично, если претерпевает бесконечный разрыв только в левом концепромежутка, то.

37. Пример 37

Исследовать интеграл на сходимость.

интеграл сходится.

38. Пример 38

интеграл расходится.

так как

Примечание.

Отметим, что исходятся, еслии расходятся, если.

Если имеет бесконечный разрыв в какой-нибудь промежуточной точке, то по свойству аддитивности (разбиения промежутка интегрирования) определённого интеграла

Если оба интеграла в правой части сходятся, то сходится и ; и этот интеграл расходится, если расходится хотя бы один из интегралов справа.

Сформулируем это в виде следующего определения.

Определение.Еслинепрерывна для, кроме, гдеимеет разрывII-рода, то несобственный интеграл от разрывной функции определяется:

Если пределы существуют и конечны, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

39. Пример 39

Исследовать интеграл на сходимость

интеграл расходится.

Если бы мы проинтегрировали формально

Этот результат неверен, так как интеграл от положительной функции не может быть отрицателен. Мы незаконно применили формулу Ньютона-Лейбница поскольку она была выведена в предположении непрерывности подынтегральной функции на промежутке интегрирования, а наша функция терпит бесконечный разрыв в точке х=0.

Это, как раз, тот парадокс, возникающий при вычислении интегралов от разрывных функций, отмеченный Эйлером и Даламбером.

Дифференциальные уравнения Лекция 7

Основные понятия и определения.

Множество задач науки и практики приводят к дифференциальным уравнениям и их системам. Термин впервые употребил Лейбниц в письме к Ньютону (1676г.), а затем в печати (с 1684г.). Уравнения с разделяющимися переменными исследовали Лейбниц и его ученики.

Задача, приводящая к дифференциальному уравнению.

Скорость обесценивания полиграфического оборудования в процессе его износа пропорциональна, в каждый данный момент времени, его фактической стоимости. Начальная стоимость равна Найти стоимость типографского оборудования по истечениилет (закон, по которому изменяется стоимость в зависимости от времени).

Искомая стоимость есть функция от времени, которую обозначим Учитывая, что функцияубывающая, в силу механического смысла производной, получаем скорость обесценивания оборудования, которая по условию задачи пропорциональна его фактической стоимости.

где - коэффициент пропорциональности.

Это соотношение является математической моделью данного экономического процесса. Оно называетсядифференциальным уравнением, потому что в него наряду с неизвестной функциейвходит и её производная.

Подобного типа уравнения получаются и при решении других задач. Например о скорости распада радиоактивного элемента, размножении бактерий, заряда проводника, охлаждении тела и др., что показывает внутреннее единство материального мира, а также широту и мощность математических методов.

Интегрируя дифференциальное уравнение, получим

где произвольную постоянную С можно найти из начального условия задачи:

при.

Таким образом искомое решение имеет вид: - закон изменения стоимости оборудования в зависимости от времени.

Определение.

Дифференциальным уравнением(ДУ) называется уравнение, связывающее не­­­­зави­­си­мую переменную, искомую функцию y=y(x) и её производные различных порядков

. (1)

Порядком ДУназывается порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

ДУ (1) – уравнение -го порядка.

Решениемили интегралом ДУназывается функцияили, удовлетворяющая, вместе со своими производными, данному ДУ.

График решения ДУ называется интегральной кривой.

Общим решением ДУили общиминтеграломназывается решение, содержащие столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения

, или

- общий интеграл ДУ.

Чтобы из общего решения выделить частноерешение (описывающее конкретный процесс), находятся значения произвольных постоянных с помощьюначальных условий(задача Коши):

Теорема Коши.

Если в уравнении правая часть и её производныенепрерывны в некоторой области, то задача Коши имеет единственное решение.

т.е. заданным начальным условиям будет соответствовать единственная интегральная кривая.

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (если искомая функция зависит от одной переменной) и дифференциальные уравнения в частных производных или уравнения математической физики (когда искомая функция зависит от двух и более переменных).

Мы будем изучать с вами только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

ДУ первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её первую производную:

или(2)

Общее решение (общий интеграл) ДУ первого порядка: или (содержит одну произвольную постоянную).

Частное решение уравнения находят из общего решения по заданному начальному условию

Задача Коши.

Найти решение дифференциального уравнения первого порядка , удовлетворяющее начальному условию .

Теорема Коши.

Если функции исуществуют и непрерывны в некоторой области, содержащей точкуто уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее условию .

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует, и притом единственная, интегральная кривая , , проходящая через точку.

Не существует общего метода решения ДУ 1-го порядка. Обычно рассматриваются лишь некоторые отдельные типы уравнений, для каждого из которых даётся свой особый способ решения.