Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура, ограниченная кривой и прямыми(криволинейная трапеция).

Будем считать, что поверхностная плотность этой плоской фигуры постоянная . Тогда масса всей плоской фигуры равна, т.е..

Выделим элементарный участок криволинейной трапеции в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближённо считать её прямоугольником с площадью .

Тогда масса его равна . Центр тяжести этого прямоугольничка лежит на пересечении его диагоналей и отстоит от осиОхна, а от осиОyна(приближённо; точнее на расстоянии). Тогда для элементарных статических моментов относительно осейОхиОyвыполнены соотношения

и

Следовательно, .

По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через , что.

Отсюда и

или .

Основные приложения определённого интеграла (справочный материал)

1. Площади плоских фигур.

4) Кривая задана параметрически:

5) кривая в полярных координатах,

S

2. Длины дуг.

l

B

A

a

b

1)

2)

- длина дуги кривой, заданной параметрически.

3)

- длина дуги кривой в полярных координатах.

3. Объёмы тел.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры:

Объём тела, образованного вращением вокруг оси Оyплоской фигуры:

Объём кольца, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры:

4. Площадь поверхности вращения.

1) Площадь поверхности, образованной вращением кривой , вокруг оси Ох находится по формуле:

2) Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Охкривой, заданной параметрически:

5. Координаты центра тяжести криволинейной трапеции:

6. Массадуги кривой, с линейной плотностью:

7. Путь, пройденный телом при прямолинейном движении, за промежуток времени отдопри скорости:

8. Работасилы, действующей вдоль оси Ох на отрезке:

Лекция 6

Несобственные интегралы

Первые несобственные сходящиеся интегралы вычислили итальянский физик и математик Эванджелиста Торричелли (1643) и французский математик Жиль Роберваль (1642). При этом Торричелли вычислил несобственный интеграл с бесконечным пределом, а Роберваль – интеграл от разрывной функции, а затем и интеграл по бесконечному промежутку.

Работа Торричелли произвела сенсацию. Он установил также "условия сходимости" интеграла.

Парадоксы, возникающие при вычислении интегралов от разрывных функций, были отмечены Эйлером и Даламбером. Лагранж посвятил им мемуар (1775). Вопрос приобрёл чёткость и ясность у Коши (результаты 1814г., опубликовано в 1823г.) .

Слово "несобственный" вошло в математику с работами немецкого учёного Эдуарда Штуди (1901).

Интегралы с бесконечными пределами

При определении интеграла предполагалось, что

1) - непрерывна в, 2)- конечен.

Довольно часто возникает необходимость рассмотрения определённого интеграла в случае бесконечного промежутка интегрирования и разрывной подынтегральной функции.

Пусть непрерывна в полубесконечном промежутке.

Если в определённом интеграле один или оба предела интегрирования бесконечно велики, то такой интеграл называютнесобственным интегралом первого рода(интеграл от конечной функции по бесконечному промежутку).

Определение.Несобственным интегралом от непрерывной функциив промежуткеназывается предел интегралапри:

где символ означает пределпри.

Если указанный предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если не существует, то расходящимся.

Аналогичным образом определяется несобственный интеграл и для других бесконечных промежутков

(символ.

По свойству аддитивности

Если оба интеграла в правой части сходятся, то называется сходящимся.

- обобщённая формула Ньютона-Лейбница,

где под символами понимают пределы, к которым стремитсясоответственно прии. Если хотя бы один из этих пределов не существует, то несобственный интеграл расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла.

Пусть график функции ограничивает трапецию с бесконечным основанием

если несобственный интегралсходится, то он выражает площадь неограниченной бесконечной области

Если интеграл расходится, то говорить о площади фигуры нельзя.

30. Пример 30

или символически (только хорошо это понимая!),

интеграл сходится, площадь фигуры равна:

31. Пример 31

интеграл расходится.

32. Пример 32

интеграл сходится.

Локон Аньези (итал.матем.)

33. Пример 33

интеграл расходится.

Во многих случаях бывает достаточно установить сходится данный интеграл или расходится и оценить его значение. Факт сходимости или расходимости несобственного интеграла можно записать так:

или, соответственно,

Самым простым признаком сходимости является признак сравнения. В таких случаях часто бывает полезным сравнить данный несобственный интеграл с другим несобственным интегралом, сходимость или расходимость которого известна.

признак сравнения.

Пусть для всех выполняется неравенство

Тогда:

если сходится , то сходится и, при этом.

, т.е. этот интеграл сходится, то и, т.е. и этот интеграл сходится. Этот признак вытекает из интегрирования двойного неравенства или из геометрического смысла сходимости несобственного интеграла.

Из этого признака следует: если расходится (равен бесконечности), тотоже расходится.

Применяется также следующий признак: если

то интегралы исходятсяилирасходятсяодновременно.

34. Пример 34

Исследовать интеграл на сходимость.

(т.к.,этот интеграл сходится.

Следовательно тоже сходится и его значение < 1.

35. Пример 35

Исследовать на сходимость интеграл

Так как , арасходится.

Для несобственного интеграла от функции любого знака:

если сходится, то сходится и.

В этом случае называется абсолютно сходящимся.

36. Пример 36

Исследовать на сходимость интеграл .

Здесь подынтегральная функция знакопеременная.

Рассмотрим . Он сходящийся, так как, и.

Следовательно, наш интеграл абсолютно сходится.