Интеграл с переменным верхним пределом.

Теорема Барроу.

Производная определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела.

Пусть непрерывна на,

Доказательство.

ч.т.д.

20. Пример 20

Это означает, что определённый интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Методы вычисления определённого интеграла.

Замена переменной или метод подстановки в определённом интеграле.

Если на отрезке функциянепрерывна вместе со своей производнойито для интеграла от непрерывной функциина отрезкесправедлива формула замены переменной в определённом интеграле

Отметим, что замена переменной в определённом интеграле сопровождается нахождением пределов изменения новой переменной и не требует перехода к первоначальной переменной.

21. Пример 21

Интегрирование по частям в определённом интеграле.

Пусть функции иимеют непрерывные производные на отрезке

Тогда справедлива формула интегрирования по частям в определённом интеграле.

Доказательство.

Возьмём дифференциал от произведения

Интегрируя это тождество в пределах от до получим

т.к. , следует.

Таким образом, ч.т.д.

22. Пример 22

Интегрирование чётных и нечётных функций в симметричных пределах.

По свойству аддитивности:

Лекция 4

Проиллюстрируем прикладной характер определённого интеграла сначала на нескольких примерах.

Вспомним теорему о среднем значении, т.е. формулу

число называется средним значением функциина отрезке.

На практике нередко вычисляются такого рода средние значения, например: средняя производительность труда, средняя мощность оборудования, среднее значение издержек производства и т.п.

23. Пример 23

Определить среднюю производительность труда в типографии, если производительность труда в течение смены выражается функцией где- время в часах.

Для решения используем интегральную теорему о среднем значении:

единиц полиграфической продукции.

24. Пример 24

Поступление книг на склад хорошо выражается формулой ,

а реализация – формулой где- количество дней.

Определить запас книг по истечении 2-х месяцев.

Зт. = ед.

25. Пример 25

Производительность труда на полиграфическом предприятии приближенно выражается следующей формулой: где- рабочее время в часах,- количество выпускаемой печатной продукции за 1 час.

Вычислить объём выпускаемой печатной продукции в течение года, считая количество рабочих дней в году равным 258.

Объём дневного выпуска продукции найдём с помощью интеграла

Годовой выпуск печатной продукции составляет

Приложения определённого интеграла.

Множество прикладных задач решается с помощью двух основных методов в теории определённого интеграла: методом интегральных сумм и методом дифференциала.

Одна из основных схем применения определённого интеграла основана на определении интеграла, как предела интегральной суммы. При этом искомая величина приближенно представляется в виде интегральной суммы, предел которой, т.е. определённый интеграл,равен точному значению данной величины.

Метод интегральных суммпутём представления непрерывных структур дискретными, с последующим предельным переходом обратно к непрерывным, универсален.

Не менее важен метод дифференциала, сущность которого заключается в том, что сначала составляетсядифференциал искомой величины, а, после интегрирования в соответству­ю­щих пределах, находится значение самой искомой величины(метод отбрасывания бесконечно малых).