Основные методы интегрирования.

Умение интегрировать состоит в том, чтобы привести интеграл к такому виду, который бы позволил применить основные формулы интегрирования.

Укажем основные методы, позволяющие сводить заданные интегралы к табличным.

Непосредственное интегрирование

Путём элементарных тождественных преобразований, используя линейность неопределённого интеграла, приводим его к одному или нескольким табличным интегралам.

2. Пример 2

Найти .

Используя свойство линейности и формулы (2), (6), (1) таблицы находим:

3. Пример 3

4. Пример 4

5. Пример 5

Интегрирование методом замены переменной

(Метод подстановки в неопределённом интеграле.)

Одним из самых распространённых приёмов интегрирования является введение новой переменной или подстановка, позволяющая упростить интеграл, привести его к табличному виду.

Сущность этого метода состоит в том, что в данном интеграле переменнуюзаменяют переменной по формулеи, следовательно,– произведением.

Пусть непрерывна на Х инепрерывна и монотонна на Т,. Учитывая, что, на основании свойства инвариантности неопределённого интеграла, получим формулу замены переменной в неопределённом интеграле

Справедливость этой формулы будет доказана, если после дифференцирования обеих её частей получим одинаковые выражения. Продифференцировав левую часть формулы, имеем

Продифференцировав правую часть формулы, получим

таким образом, формула доказана.

Итак,

часто употребляется обратная замена переменной,, тогда

6. Пример 6

7. Пример 7

8. Пример 8

Здесь в неявном виде применена подстановка , а затем интеграл найден по формуле 10 таблицы интегралов. (Метод подведения под знак дифференциала).

Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.

Пусть и- две непрерывные и дифференцируемые функции.

- формула интегрирования по частям.

По правилу дифференцирования произведения двух функций имеем:

Возьмём интегралы от обеих частей, учитывая свойство 2 неопределённого интеграла

Метод интегрирования по частям применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет собой произведение алгебраической и трансцендентной функций.

Применяя формулу интегрирования по частям в качестве обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, а в качестве- оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая, из которой можно определитьпутём интегрирования.

Таким образом, подынтегральное выражение представляется в виде произведенияи вычисление интеграласводится, обычно, к вычислению более простого интеграла.

Укажем способ выбора идля некоторых интегралов.

,берутся двукратным интегрированием по частям

(- многочлен степени,.

9. Пример 9

10. Пример 10

Интегрирование рациональных функций.

Рассмотрим рациональную функцию (или рациональную дробь)

Здесь и- многочлены степенейиотносительно переменной.

Если т.е. дробь неправильная, то её можно представить в виде

(k<m),

или, как говорят, выделить из неё целую часть .

В результате интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию правильной дроби

Пусть - правильная рациональная дробьа разложениена произведение вещественных множителей имеет вид:

,

где - вещественные кратные корни знаменателя, кратности, соответственно, и;

- квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом, неразложимый на вещественные множители.

Тогда

где - вещественные числа.

Дроби, входящие в правую часть, называются простейшими, а само равенство называется разложением правильной рациональной дроби на сумму простейших элементарных дробей.

Для определения неизвестных коэффициентов разложения обе части тождества (после приведения к общему знаменателю и приравнивая числители дробей левой и правой части) приводим к целому виду, а затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной , что даёт систему линейных уравнений относительно коэффициентов. Этот метод называетсяметодом неопределённых коэффициентов.

Можно также получить систему уравнений для коэффициентов, подставляя в обе части тождества, приведённого к целому виду, вместо значения, равные вещественным корням знаменателя, или подходящим образом подобранным числам (метод произвольных значений).

Часто, удачно комбинируя оба метода, можно упростить процесс отыскания коэффициентов разложения на простейшие дроби.

11. Пример 11

Найти

Под интегралом стоит правильная рациональная дробь (n=2<m=4). Её разложение на простейшие дроби имеет вид

(*)

где - неизвестные пока коэффициенты разложения.

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, приходим к тождеству

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях . Приравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений для определения:

при

при

при

при (свободные члены) :

Решив эту систему уравнений, получим: ,,,

Подставив найденные коэффициенты в (*), получим разложение подынтегральной дроби: