Применение операционного исчисления к интегрированию линейных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

(1)

где -действительные числа.

Требуется решить задачу Коши: найти частное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям

,

где и- заданные числа.

Предположим, то искомое решение , его производные,и правая часть неоднородного дифференциального уравнения являются оригиналами. Обозначив,и, используя формулыXXIиз таблицы, а также начальные условия, найдёмL-изображения,:

На основании свойства линейности перейдём в уравнении (1) к L-изображениям

сгруппировав члены, содержащиеи, перенося известные члены в правую часть с обратным знаком, получим

(2)

Уравнение (2) называется операторным (вспомогательным)уравнениемилиуравнением в изображениях, соответствующим дифференциальному уравнению (1).

Таким образом, вместо дифференциального уравнения (1) для оригинала мы получили линейное алгебраическое уравнение (2) для его изображения. Из уравнения (2) находим

(3)

Формула (3) даёт так называемое операторное решение уравнения (2).

Оригинал , для которого функция, определяемая формулой (3) является изображением (), в силу теоремы единственности и есть искомое решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям.

40. Пример 63

Найти решение дифференциального уравнения ,

удовлетворяющее начальным условиям

Решение.

Переходим в уравнении к изображениям

- частное решение дифференциального уравнения.

40. Пример 64

Найти решение дифференциального уравнения ,

удовлетворяющее начальным условиям

Решение.

Переходим в уравнении к изображениям

Мы использовали формулу IXтаблицы изображений:.

Итак,

- искомое частное решение нашего дифференциального уравнения.

Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Способ решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом операционного исчисления остаётся тем же, что и для одного уравнения.

Рассмотрим, например, систему двух линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами относительно двух неизвестных функций и

Требуется найти частное решение системы, удовлетворяющее начальным условиям .

Предположим, что искомые функции и, их производные и правые частииявляются оригиналами. Обозначивтогда;.

На основании свойства линейности перейдём от системы дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений для изображений.

Эта система называется вспомогательнойилисистемой в изображениях. Решая её, найдём изображенияи, оригиналами которых являются неизвестные функциии- решение задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений.

40. Пример 65

Найти частное решение системы

удовлетворяющее начальным условиям .

Решение.

Подставляем эти изображения в данную систему

Итак, наша система имеет следующее частное решение

.

Оглавление

Первообразная и неопределённый интеграл. 1

Свойства неопределённого интеграла. 2

Таблица интегралов. 5

Основные методы интегрирования. 6

Непосредственное интегрирование 6

Интегрирование методом замены переменной 7

Интегрирование по частям в неопределённом интеграле. 9

Интегрирование рациональных функций. 10

Интегрирование иррациональных функций. 12

Интегрирование тригонометрических выражений. 14

Определённый интеграл, как предел интегральных сумм. 17

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. 17

Понятие интегральной суммы и определённого интеграла. 19

Формула Ньютона-Лейбница. 22

Основные свойства определённого интеграла. 22

Интеграл с переменным верхним пределом. 26

Теорема Барроу. 26

Методы вычисления определённого интеграла. 26

Замена переменной или метод подстановки в определённом интеграле. 26

Интегрирование по частям в определённом интеграле. 27

Интегрирование чётных и нечётных функций в симметричных пределах. 28

Приложения определённого интеграла. 30

Площади плоских фигур. 31

Длина дуги кривой 34

Объём тела вращения 36

Площадь поверхности вращения 39

Статические моменты и центр тяжести плоской кривой 42

Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры 44

основные приложения определённого интеграла (справочный материал) 45

Несобственные интегралы 49

Интегралы с бесконечными пределами 50

Интеграл от неограниченной функции 56

Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков. Задача Коши. 73

уравнения, допускающие понижение порядка. 74

Линейные однородные дифферинциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 83

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных) 88

Понятие о системах дифференциальных уравнений 92

Операционный метод и его приложения 97

Преобразование Лапласа 98

Свойство линейности L-изображения 99

L-изображения некоторых функций 100

Основные теоремы операционного исчисления. 101

I. Теорема подобия. 101

II. Теорема смещения. 102

III. Теорема запаздывания. 103

IV. Теорема свертывания. 104

V. Дифференцирование оригинала (изображение производных). 104

Таблица оригиналов и их изображений 106

Применение операционного исчисления к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. 107

Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 109