Свойство линейностиL-изображения
Если
(*) (
)
и
,
то
(**)
Доказательство.
Умножая все члены равенства (*) на
и интегрируя по
в пределах от 0 до
(вынося множитель
за знак интеграла) получим равенство
(**).
L-изображения некоторых функций
;
;
Из формулы Эйлера
;
Выполняя
раз интегрирование по частям
при
,
получим
.
Пример 56
Найти L-изображение функции
Лекция 16
Основные теоремы операционного исчисления.
I. Теорема подобия.
Пусть
,
тогда
,
где
При умножении независимой переменной оригинала на положительное число изображение и независимая переменная изображения делятся на это число.
Доказательство.
Пример 57
Найти оригинал, если
II. Теорема смещения.
Если
,
то
Доказательство.
На основании этой теоремы
,
Пример 58
Найти L-изображение функции
Пример 59
Найти оригинал по изображению
По теореме смещения
;
III. Теорема запаздывания.
Если
,
то
Если
описывает некоторый процесс, то
описывает тот же процесс, но только с
запаздыванием на
.
На основании формулы, определяющей изображение, имеем
Пример 60
Найти
изображение оригинала
IV. Теорема свертывания.
Если
,
-
свёртка двух функций
V. Дифференцирование оригинала (изображение производных).
Теорема.
Пусть
,
тогда
,
Доказательство.
Аналогично
.
.
В частности, если
,
то
.
Замечание 1.
- эта формула позволяет находить
начальное значение оригинала по
его изображению
,
не вычисляя самого оригинала.
Пример 61
,
найти
.
.
Замечание 2. (Восстановление оригинала).
Если
изображение
является правильной рациональной
дробью, то для нахождения соответствующего
оригинала следует
изображение
разложить на сумму простейших дробей
и применить свойство линейности.
Пример 62
(Коэффициенты разложения найдёте самостоятельно.)
Таблица оригиналов и их изображений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема подобия
Теорема запаздывания
|
Теорема смещения изображения
Теорема о свёртке функций.
- изображение свёртки |
-
Лекция 17