Операционное исчисление

Лекция 15

Операционный метод и его приложения

Операционное исчисление, созданное в конце XIXвека английским физиком О.Хевисайдом (1850-1925) в настоящее время является одной из важней областей математики.

В позапрошлом столетии многие математики (в том числе и у нас в России, например, Ващенко-Захарченко (1825-1912) и Летников (1862) занимались так называемым символическим исчислением, которое оказалось довольно удобным для решения различных задач, связанных с линейными дифференциальными уравнениями.

Популяризации символического исчисления способствовал английский инженер-электрик О.Хевисайд, успешно использовав символическое исчисление в электротехнических расчётах. Однако О.Хевисайд нисколько не заботился об обосновании применённых им математических методов и в ряде случаев приходил к неверным результатам.

Первое обоснование и "математически приемлемое" изложение были проведены английским математиком Бромвичем (1916г.), американским инженером Карсоном (1926г.) и голландским инженером-электриком Ван Дер Полем (1929-1932), польским математиком Микушиньским (1913г.), украинскими математиками А.М.Эфросом и А.М.Данилевским (1937г.).

В физике, механике, технике и других науках используют методы операционного исчисления. Операционное исчисление составляет теоретическую основу целого ряда инженерных методов расчёта и проектирования автоматических систем.

Академик А.А.Андронов, говоря о значении операционного исчисления в изучении современных технических вопросов, отметил, что операционные исчисления являются азбукой современной автоматики и телемеханики. Диапазон применения заметно расширился.

Мы рассмотрим некоторые понятия операционного исчисления и применение его к решению линейных дифференциальных уравнений и систем.

Преобразование Лапласа

Определение 1.Начальной функцией или функцией-оригиналом назовём функциюдействительного переменного, удовлетворяющую следующим условиям:

1. (это условие вводится в связи с тем, что во многих задачах физики и техники аргументрассматривается как время).

2. функцияили непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода.

3. функцияимеет ограниченную степень роста, т.е. существуют постоянные, такие, что

при

(- показатель роста,возрастает не быстрее показательной функции)

Например,

- функция Хевисайда (

Пусть

Рассмотрим комплексную функцию действительного переменного (используем формулу Эйлера)

Каждой функции поставим в соответствие функциюкомплексного переменного, полагая

(1)

Докажем, что если является функцией-оригиналом, то несобственный интеграл существует и сходится абсолютно.

(2)

Оценим первый из интегралов (2), воспользовавшись условием 3.

=.

Аналогично оценивается и второй интеграл из (2) и, следовательно, существует (абсолютно сходящийся).

Определение 2.Лапласовым изображением илиL-изображением функцииназывается функция комплексной переменной.

Теорема существования L-изображения

Для оригиналаL-изображенияв полуплоскости.

Если естьL-изображение функцииf(t), то будем использовать символ

(3)

или

Теорема единственности оригинала.

Если две непрерывные функции иимеют одно и тожеL-изображение, то эти функции тождественно равны.