Лекция13 Неоднородные линейные дифференциальные уравнения.МетодЛагранжа (вариации произвольных постоянных)

По теореме о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения мы доказали, что для нахождение общего решения линейного неоднородного уравнения достаточно знать общее решение соответствующего однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения.

С помощью метода вариации произвольных постоянных мы покажем, как находится частное решение неоднородного уравнения, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

(1)

Пусть

(2)

- общее решение соответствующего однородного уравнения, где и- частные решения, образующие фундаментальную систему.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения (1) в форме (2), рассматривая икак некоторые, пока неизвестные, функции от:

(3)

Продифференцируем равенство (3)

Подберём искомые функции итак, чтобы выполнялось равенство

(4)

Учитывая (4)

Подставляя в уравнение (1), получим

или, группируя члены относительно и,

(5)

Так как функция иявляются решениями однородного уравнения, то имеют место тождества

поэтому равенство (5) примет вид

или (6)

Таким образом, функция (3) будет являться решением неоднородного уравнения (1) в том случае, если функции иудовлетворяют системе уравнений (4), (6)

(7)

Система уравнений (7) имеет единственное решение и, поскольку определитель этой системы

как определителем Вронского, для линейно независимых частных решений и.

Определив и, интегрированием находимии затем по формуле (3) составляем частное решение.

40. Пример 53

Решить уравнение

1. Найдём общее решение однородного уравнения

- фундаментальная система решений.

Общее решение однородного дифференциального уравнения

2. Частное решение данного неоднородного уравнения будем искать в виде

(*)

Для нахождения исоставляем систему уравнений вида (7)

Решая эту систему относительно инаходим

Интегрируя, получаем

Произвольных постоянных мы не пишем, так как ищем частное решение.

Подставляя найденные ив (*), получим частное решениеданного неоднородного уравнения

3. Общее решение данного неоднородного уравнения будет

.

Замечание.Принцип суперпозиции.

Решение уравнения

где правая часть есть сумма двух функций иможно представить в виде суммы,иесть соответственно решения уравнений

Лекция14 Понятие о системах дифференциальных уравнений

Во многих задачах математики, физики и техники требуется определить сразу несколько функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравнений называется системой дифференциальных уравнений.В частности, к таким системам приводят задачи, в которых изучается движение тел в пространстве под действием заданных сил.

В дальнейшем мы ограничимся изучением только системы уравнений первого порядка специального вида относительно искомых функций . Эта система имеет вид:

и называется системой в нормальной формеилинормальной системой.

В нормальной системе правые части уравнений не содержат производных искомых функций.

Решением системыназывается совокупность функций, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Рассмотрим, например, нормальную систему трёх уравнений с тремя неизвестными функциями

(1)

Для нормальной системы дифференциальных уравнений теорема Коши существования и единственности решения формулируется следующим образом.

Теорема.

Пусть правые части уравнений системы (1), т.е. функции непрерывны по всем переменным в некоторой областиGи имеют в ней непрерывные частные производные:Тогда каковы бы ни были значенияпринадлежащие областиG, существует единственное решение системыудовлетворяющие начальным условиям:

(2)

Для интегрирования системы (1) можно применить метод, с помощью которого данная система, содержащая три уравнения относительно трёх искомых функций, сводится к одному уравнению третьего порядка относительно одной неизвестной функции. Этот метод называется методом исключения неизвестных.

Покажем его применение на примере системы двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными.

40. Пример 54

Найти общее решение системы

Дифференцируя первое из уравнений системы по , находим

Подставляя в это равенство выражениеиз второго уравнения системы, получим

Заменяя, наконец, функцию её выражением из первого уравнения системы

(*)

приходим к линейному однородному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции:

или

Составим характеристическое уравнение

- корни комплексно сопряжённые и

общее решение будет

(**)

Дифференцируя (**), находим

Подставляя выражения для ив равенство (*) и приводя подобные члены, получим

Функции

есть общее решение данной системы.

Итак, интегрируя нормальную систему двух дифференциальных уравнений, мы получили её решение, зависящее от двух произвольных постоянных и. Можно показать, что в общем случае для нормальной системы, состоящей изуравнений, её общее решение зависит отпроизвольных постоянных. Так, для нормальной системы трёх уравнений

общее решение зависит от трёх произвольных постоянных ,,и имеет вид

.

Чтобы найти частное решение задаются начальные условия:

и постоянные ,,определяются из системы уравнений

40. Пример 55

Найти частное решение системы ДУ

удовлетворяющее начальным условиям

В предыдущем примере мы нашли общее решение этой системы

При заданных начальных условиях получаем систему уравнений для определения постоянныхи:

Отсюда Следовательно, искомое частное решение имеет вид