Лекция 8

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Уравнение вида

где - функции только от функции только от называется ДУ с разделяющимися переменными.

Предположив, что и разделив обе части уравнения (4) на это произведение, получим уравнение которое называют уравнением с разделёнными переменными. Оно имеет общий интеграл который является общим интегралом уравнения с разделяющимися переменными.

Замечание.

Корни уравнений , очевидно, также являются решениями ДУ с разделяющимися переменными .

ДУ с разделяющимися переменными может иметь и другой вид

Разделяя переменные, получим общий интеграл этого уравнения

40. Пример 40

Решить уравнение

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Действительно,

- переменные разделились, берём интеграл от обеих частей.

- общий интеграл ДУ первого порядка.

40. Пример 41

Проинтегрировать ДУ

и найти его частное решение, удовлетворяющее начальному условию

при

- переменные разделились, берём интеграл от обеих частей

положим . Тогдаилиположимокончательно получим

общее решение есть семейство равносторонних гипербол.

Выделим одну гиперболу, проходящую через точку

- частное решение нашего дифференциального уравнения.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение называется однородным, если функцияможет быть представлена как функция отношения своих аргументов

(т.е.).

Например,

- здесь переменные не разделены, это однородные ДУ.

Можно преобразовать однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными, вводя вспомогательную неизвестную функцию

- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Найдя отсюда выражение для, как функции оти возвращаясь к переменной, получим искомое решение однородного уравнения.

40. Пример 42

Проинтегрировать уравнение

Решение. Докажем,что это уравнение однородное.

или- однородное ДУ первого порядка.

Положим .

Подставляя в преобразованное уравнение, получим - ДУ с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные берём интеграл от обеих частей

, или.

Положим тогда.

Возвращаясь к функции , получим

- общий интеграл нашего однородного ДУ первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение вида

,

т.е. линейное относительно искомой функции и её производной, называется линейным ДУ. (и- заданные функции).

Если , то уравнение называется линейным однородным уравнением

.

В этом уравнении переменные разделяются, и его общее решение находится сразу.

Потенцируя, находим

Для решения линейного неоднородного уравнения (coсвободным членом) применяютсяметод вариации произвольной постоянной(метод Лагранжа) илиметод подстановки(метод Бернулли).

метод вариации произвольной постояннойсостоит в том, что сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем, полагая в этом соотношении величинуфункцией отищем решение неоднородного уравнения в виде

Для этого подставляем в неоднородное уравнение и.определяем функцию, а затем и общее решение линейного неоднородного ДУ.

Для решения линейного уравнения

методом подстановкипримем, что

- подстановка Бернулли.

где и- неизвестные функции от.

После подстановки в уравнение получим

В качестве выбираем одну из функций, удовлетворяющих уравнению

Получены два уравнения с разделяющимися переменными.

Из первого находим из второго -

Исходя из подстановки (перемножая найденныеи) находим общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

40. Пример 43

Проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение

1. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Интегрируем однородное уравнение: .

Будем искать решение линейного неоднородного уравнения в виде , считая- функцией от.

Тогда . После подстановкиив исходное уравнение, получим

так как , то

- общее решение ДУ

2. Метод подстановки (метод Бернулли).

.иподставляем в уравнение (*)

(с=0) подставляем в (*).

так как - общее решение ДУ

К линейным уравнениям часто приводятся уравнения более сложного вида. Рассмотрим, например, так называемое уравнение Бернулли.

К этому уравнению приводит задача о движении тела, если сопротивление среды зависит от скорости следующим образом:. Это уравнение предложено Я. Бернулли в 1695 году, метод решения опубликовал И.Бернулли в 1697 году.

Уравнение бернулли можно привести к линейному с помощью замены

. Разделив все члены уравнения наполучим.

ис помощью замены приходим к линейному уравнению

.

Замечание.

Аналогично тому, как это делалось для линейного уравнения, можно показать, что

решение уравнения Бернулли можно искать в виде произведения двух функций

,

где - какая либо функция, отличная от нуля и удовлетворяющая уравнению.

уравнение в полных дифференциалах

Определение. Уравнение

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если и- непрерывно дифференцируемые функции, для которых выполняется соотношение

(2)

(причём и- непрерывны в некоторой области).

Докажем, что равенство (2) является необходимым и достаточным условием того, что левая часть уравнения (1) является полным дифференциалом некоторой функции , т.е. уравнение (1) имеет вид

(3)

и, следовательно, его общий интеграл есть .

Предположим сначала, что левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функции , т.е.

Тогда (4)

Дифференцируя первое соотношение по , а второе по, получим

по теореме Шварца предполагая непрерывность вторых производных, будем иметь:.

Таким образом, равенство (2) является необходимым условием для того, чтобы левая часть уравнения являлась полным дифференциалом некоторой функции .

Покажем, что условие является и достаточным.

Пусть условие (2) выполняется. Из соотношения

находим: , (*)

где - абсцисса любой точки из области существования решения.

При интегрировании по и поэтому произвольная постоянная может зависеть от. Подберём функциютак, чтобы выполнялось 2-е из соотношения (4). Для этого продифференцируем обе части последнего равенства пои результат приравняем к.

,

но т.к., то можем написать

, т.е., или

,

следовательно,

или

Таким образом функция будет иметь вид из (*)

Здесь - точка в окрестности которой существует решение ДУ (1).

Приравнивая это выражение к произвольной постоянной, , получим общий интеграл уравнения (1).

(5)

(Мы как будто проинтегрировали обе части уравнения: в левой части – первый интеграл по , во втором интеграле)

40. Пример 44

Решить уравнение

Установим, что это будет уравнение в полных дифференциалах:

, следовательно, наше уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Возьмём за точку начало координат. Из формулы (5) получим .

- общий интеграл дифференциального уравнения.

Типы ДУ 1-го порядка и способы их решения в систематизированном виде представлены в таблице.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка и способы их решения.

	Тип уравнения	Общий вид уравнения	Метод решения уравнения
	Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными	а)
		б)	-общий интеграл ДУ с разделяющимися переменными.
	Однородные дифференциальные уравнения	где или (т.е. функция может быть представ­ле­на, как функция отноше­ния своих аргументов)	Приводится к уравнению с разделяющи­мися переменными подстановкой, ( - вспомогательная неизвестная функция)
	Линейные дифференциальные уравнения	(линейное относительно и,и- известные функции от )	Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Интегрируем т.н. однородное уравнение . Ищем общее решение неоднородного уравнения в виде , считая С - функцией от х.--
			Метод Бернулли: подстановка , (и- вспомогательные неизвестные функции, причёмудовлетворяет уравнению). Подставим в уравнение Получены два уравнения с разделяющимися переменными. Из первого находим из второго -
	Уравнение Бернулли		Приводится к линейному уравнению подстановкой , или подстановкой Бернулли:, приходим к двум уравнениям с разделяющимися переменными (также, как и в случае линейного уравнения).
	уравнение в полных дифференциалах