114

Интегральное исчисление

Лекция 1

Первые аналитические понятия определенного и неопределённого интегралов содержались в работах Лакруа Сильвестра Франсуа (1765-1843) – французского математика, руководителя комиссии по реорганизации образования во Франции. Автор многих учебников по математическому анализу оказал значительное влияние на преподавание математики в XIII-XIXв.в. Ввёл термин "Аналитическая геометрия". Кроме "Трактата о дифференциальном и интегральном исчислении" (1810-1819) важное значение имел написанный им полный курс математики.

Истоки же интегрального исчисления относятся к античному периоду и связаны с методами, разработанными древними греками (школа Архимеда), возникшими при решении задач на нахождение площадей, объёмов, некоторых задач статики и гидродинамики. Сочинение Архимеда (около 287-212гг. до н.э.) "Псамммит (о числе песчинок)" было первой работой, содержащей идеи интегрального исчисления.

Дальнейшее развитие принадлежит таким корифеям математической мысли, как Ферма, Валлис, Декарт, Паскаль, Ньютон, Лейбниц, Фурье, Дирихле, Бернулли и многим другим выдающимся учёным.

Первообразная и неопределённый интеграл.

Основная задача дифференциального исчисления:

по данной функции найти её производную.

Основная задача интегрального исчисления - обратная:

найти функцию, зная её производ­ную.

Итак, интегрирование есть операция, обратная дифференцированию.

Повторить таблицу производных!!!

Определение.Первообразной функции на промежутке Х называется

функция , производная которой равна данной функции.

(1)

или ,xХ.

Например, для какой функции служит производной: - первообразные , где с =const, так как

Термин ”первообразная” введён на рубеже ХIX в. и, также как и "производная", принадлежит Лагранжу.

Теорема.

Если – первообразная,, тоимеет бесконечное множество первообразных:.

Доказательство.

, где с – произвольная постоянная.

Этим семейством исчерпываются все возможные первообразные

Определение.

Совокупность всех первообразных называется неопределённым интегралом функциии обозначается:

(2)

- знак интеграла;

– подынтегральная функция;

– подынтегральное выражение;

х – переменная интегрирования;

с – произвольная постоянная.

Геометрически неопределённый интеграл есть семейство кривых, каждая из которых соответствует определённому значению с и графики которых получаются путём сдвига графика функциивдоль оси.

Всякая непрерывная функция имеет на этом промежутке первообразную, а, следовательно, и неопределённый интеграл. Таким образом, неопределённый интеграл существует только длянепрерывнойфункции (теорема существования н.и.).

Свойства неопределённого интеграла.

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функ­ции,

дифференциал неопределённого интеграла равен под­ынтег­раль­ному выражению:

Доказательство.

,

_ч.т.д.

2. Интеграл дифференциала функции равен самой функции с точностью до произвольной постоянной.

Доказательство.

_ч.т.д.

3. линейность интеграла.

Интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределён­­ных интегралов этих функций, постоянный множитель выносится за знак интеграла.

(Доказать самостоятельно).

4. Свойство инвариантности.

если, то, где,

т.е. неопределённый интеграл не зависит от того является ли переменная интегрирования независимой переменной или сложным аргументом.

Доказательство.В силу инвариантности дифференциала

_ч.т.д.

На практике удобно также использовать ряд следующих приёмов интегрирования:

Отмеченные свойства и приёмы интегрирования доказываются дифференцированием обеих частей данных равенств, пользуясь при этом определениями первообразной и неопределённого интеграла.

Таблица интегралов.

Поскольку интегрирование есть операция, обратная дифференцированию, то используя формулы (1), (2) и табличные производные функций, можно составить таблицу основных интегралов. Очевидно, что правильность табличных интегралов проверяется дифференцированием обеих частей формул (есть дифференцируемая функция некоторой независимой переменной).

Основные интегралы.

	- любая константа.

Итак, основная таблица интегралов в силу инвариантности оказывается справедливой не зависимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией.

1. Пример 1

Мы применили свойство инвариантности н.и. и формулу (4) таблицы интегралов.

Проверка.

Производная первообразной равна подынтегральной функции.

_ч.т.д.