7. Виды отображений. Обратное отображение

О пределение 1. Отображение f множества X в Y называется отображением множества X на Y, или сюръективным, или сюръекцией, если для любого y Y найдется такой элемент x X, что f(x) =y.

Таким образом, f: XY сюръекция тогда и только тогда, когда E(f) = Y.

Например, отображение f: R[0, +), f: xx², является сюръекцией, см. также рис. 6, 7 . Отметим, что отображения на рис 2, 3 не являются таковыми.

Определение 2. Отображение f множества X в Y называется взаимно однозначным отображением множества X в Y , или инъективным, или инъекцией, или вложением, если для любых x₁, x₂  X из x₁  x₂ следует, что f(x₁)  f(x₂).

Н апример, отображение f: R\{0}R, f: x1/x, является инъекцией, см. также рис. 7, 8, 9. Отметим, что отображения на рис.2,3 , 6 не являются таковыми.

Определение 3. Отображение f множества X в Y называется взаимно однозначным отображением множества X на Y , или биективным, или биекцией, если оно одновременно сюръективно и инъективно.

Иными словами биективное отображение взаимно однозначно и является отображением X на Y. Взаимно однозначное отображение множества X на Y обозначается также символом f: XY.

В геометрии взаимно однозначные отображения множества X на себя называются преобразованиями множества. В математическом анализе взаимно однозначные отображения множества X на Y называются взаимно однозначными соответствиями между X и Y.

Например, отображение f: (0,+)R, f: xlg x, является биекцией, см. также рис. 7., 9. Отметим, что отображения на рис 1., 1., 6., 8 не являются таковыми.

Теорема 1. 1. Композиция двух сюръекций f и g есть сюръекция.

2. Композиция двух инъекций f и g  инъекция.

3. Композиция двух биекций f и g  биекция.

Доказательство. Композиция двух отображений f: XY, g: YW есть отображение XW. Если f и g сюръекции, то f(X) = Y, g(Y) = W. Поэтому и  сюръекция.

Пусть x₁, x₂  X и x₁  x₂. Пусть f и g инъекции. Тогда f(x₁)  f(x₂). Отсюда и  инъекция.

Третье утверждение теоремы следует из первых двух по определению 3.

8. Обратное отображение

Определение 1. Отображение f: XY называется обратимым, если обратное для его бинарное отношение f ^-1 является отображением множества Y в X. Тогда обратное бинарное отношение f ^-1 называется обратным отображением для отображения f и обозначается тем же символом f ^-1.

Н апример, для отображения f: (0,+)R, f: xlg x, обратное отображение f ^-1: R(0, +), f ^-1: x10^x. Отображения на рис. 7. и 9 обратимы (см. также рис. 10).

Отметим, что не каждое отображение обратимо. Например, отображения представленные на рис. 6., 8 не обратимы.

Теорема 1. Пусть отображение f: XY - обратимо, f ^-1 – обратное отображение. Тогда y= f(x) тогда и только тогда, когда x= f ^-1(y) для любых x X и y Y .

Доказательство. По определению обратного бинарного отношения (x, y)  f тогда и только тогда, когда (y, x)  f ^-1 . В силу обозначений из этого следует утверждение теоремы.

Теорема 2. Пусть отображение f: XY - обратимо. Тогда .

Доказательство. Следует из определений 5, 6 и теоремы 2.

Теорема 3. Отображение f: XY - обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.

Доказательство. () Пусть отображение f: XY обратимо и f ^-1: YX обратное ему отображение. По определению отображения для любого y  Y существует единственный элемент x X такой, что x= f ^-1(y) и по теореме 2 y= f(x). По определению 2.1 f  сюръекция.

Доказывая, что f биекция предположим противное. Пусть найдутся такие два элемента x₁, x₂  X , x₁  x₂ , что f(x₁) = f(x₂), y₁= f(x₁), y₂= f(x₂). Тогда y₁ = y₂ и по теореме 2 x₁= f ^-1(y₁) = f ^-1(y₂) = x₂, а это противоречит предположению.

() Пусть отображение f: XY  биективно, f ^-1  обратное бинарное отношение для f. По определению 2.1 для каждого y  Y существует такой элемент xX, что y= f(x), т.е. такой, что (y, x)f ^-1. Покажем, что такой элемент x X единственный. Действительно, допустим, что существуют два такие элемента x₁, x₂  X , x₁  x₂ , (y, x₁)f ^-1, (y, x₂)f ^-1. Тогда по определению обратного бинарного отношения (x₁, y)f , (x₂, y)f и f(x₁) = y = f(x₂), а это противоречит тому, что f  биективно.

Если f ^-1: Y  X обратное отображение для отображения f: XY, то область определения Y отображения f ^-1 равна множеству значений отображения f, D(f ^-1) = E(f), и наоборот E(f ^-1) = D(f). Если области определений отображений f и f ^-1 изображаются на оси Ox, то графики этих отображений симметричны относительно биссектрисы первого и второго координатных углов, т.е. относительно прямой y= =x .

Например, для функции sin: [/2,/2][1,1] обратной является функция arcsin: [1,1] [/2,/2]. По теореме 3 для любых x [/2,/2] и y[1,1] справедливы тождества arcsin(sin x) = x и sin(arcsin y) = y.

Упражнения: 1. Даны функции cos x, tg x, ctg x, x², log₂ x . Какие из этих функций являются отображениями R в R , сюръекциями, инъекциями, биекциями?

Сузить их области отправления и прибытия так, чтобы они стали обратимыми, найти обратные функции и построить их графики.

В каждом случае написать тождества теоремы 3.4.

3.2. Доказать теорему 3.3.

3.3. Доказать, что графики функций y= f(x) и y= f^-1(x) симметричны относительно прямой y= x.

12