§ 6. Функциональные отношения. Отображения

Определение 1. Бинарным отношением f между множествами X и Y называется отображением множества X в множество Y, если для любого элемента xX существует один и только один элемент yY такой, что (x, y)f .

Отображение f множества X в Y называется также функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве Y.

Символически отображение f множества X в Y записывается в виде: f: X  Y. То, что (x, y)f, записывается также в виде y = f(x) или f: x  y.

При этом область определения D(f) бинарного отношения f совпадает с X и называется областью определения отображения или функции f, область значений E(f) называется множеством значений отображения или функции f. Если (x, y)f, то элемент y называется образом элемента x при отображении f и обозначается символом y = f(x), а элемент x  прообразом элемента y. Также при этом говорят, что элемент x есть аргумент или более точно, значение аргумента, а f(x)  значение функции в точке x. Множество X называется также областью отправления, Y  областью прибытия отображения f.

Иногда отображением f множества X в Y называется правило, которое каждому элементу xX ставит в соответствие единственный элемент yY , обозначаемый f(x).

Отображения задаются теми же способами, что и бинарные отношения. На рис. 2 и 3 представлены отображения, заданные стрелками и графически. Отметим, что ни одно из бинарных отношений изображенных на рис. 1. не является отображением.

Стрелочное изображение отображения f: X  Y имеет следующие особенности:

1. из каждой "точки" множества X выходит только одна стрелка;

2. две стрелки не могут иметь общее начало.

Если X, Y R, то функция называется числовой функцией. Отметим, что множество G точек плоскости xOy является графиком некоторой числовой функции тогда и только тогда, когда каждая прямая параллельная оси Oy пересекает G не более чем в одной точке.

Определение 2. Образом множества A  X при отображении f: X  Y называется множество f (A) = {f(x) x A }.

Например, на рис. 1. f ({2, 4}) = {b}.

Отметим, что f (X) = E(f).

Определение 3. Прообразом или полным прообразом множества B X при отображении f: X  Y называется множество f ^-1(A) = {x X  f(x)B }.

Например, на рис. 1. f ^-1({b}) = {2, 4, 5}.

Определение 4. Два отображения f₁: X₁  Y₁, f₂: X₂  Y₂ называются равными, обозначается f₁ = f₂, если

1. X₁= X₂,

2. для любого x X₁ имеем f₁(x) = f₂(x).

Определение 5. Композицией двух отображений f: XY, g: YW называется отображение : XW определяемое для любого x X формулой:

Если f и g числовые функции, то называют также сложной функцией.

Приведенная на рис. 5. треугольная диаграмма наглядно иллюстрирует то, что при выполнении отображения сначала выполняется отображение f , а затем  отображение g.

Н апример, если f и g отображения R в R, определенные формулами f: x x², g: x x+1, то : x  x²+1, : x  (x+1)².

Теорема 1. Операция композиции обладает свойством ассоциативности, т.е. для любых трех отображений f: XY, g: YW , h: WZ.

Доказательство. Так как для любого элемента x X имеем

то по определению 4 утверждение теоремы справедливо.

Определение 1.6. Отображение e_X: XX называется единичным или тождественным отображением, если e_X(x) =x для любого x X.

Теорема 2. Для любого отображения f: XY .

Доказательство. ТУ 1.2.

Определение 7. Отображение f: X₁Y называется сужением или ограничением отображения g: X₂Y на X₁, если

1. X₁ X₂,

2. для любого x X₁ имеем f(x) = g(x).

В этом случае пишут f= g_A, а также говорят, что g продолжение или расширение отображения f.

Упражнения: 1. Привести примеры бинарных отношений между множествами A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4}, которые являются отображениями.

2. Доказать теорему 2.

3. Привести примеры отображений множества R в R и построить их графики. Найти композиции всевозможных пар отображений.