4. Классы эквивалентности

Определение 1. Пусть  отношение эквивалентности на множестве A. Классом эквивалентности элемента a A называется множество, обозначаемое и состоящее из всех элементов b A таких, что b a (или (a, b)  ).

Любой элемент b класса эквивалентности называется представителем этого класса. По определению

={ b A b a}  A.

Примеры. 1. Для отношения параллельности прямых плоскости класс эквивалентности прямой a есть множество всех прямых данной плоскости, параллельных прямой a: ={bA b a}. Это множество называется пучком параллельных прямых плоскости.

2. Для отношения сравнимости действительных чисел по модулю  (см. пример 1) класс эквивалентности числа a  R есть множество всех чисел b  R, сравнимых с a по модулю :

={b  R  b  a (mod )} = {b  R  b = a + k , где k  Z}.

3. Для отношения подобия треугольников каждый класс эквивалентности состоит из всех треугольников, подобных данному.

4. Отношения эквивалентности из примера 3.4 имеет три различных класса эквивалентности (см. также рис. 6):

Теорема 1. Если класс эквивалентности элемента a, то a (следовательно, каждый класс эквивалентности не пуст).

Доказательство. Пусть  отношение эквивалентности на множестве A. Тогда по определению 11.4. a a для любого a A. Следовательно, по определению класса эквивалентности a  и . 

Теорема 2. Два класса эквивалентности и по отношению эквивалентности равны тогда и только тогда, когда a b.

Доказательство. Необходимость. Пусть = . По теореме 9.1 a  . Тогда по определению равных множеств a  и по определению класса эквивалентности a b.

Достаточность. Пусть a b. Докажем, что = .

1) Если x  , то по определению класса эквивалентности x a. Так как по условию a b, то в силу транзитивности x b. Тогда по определению класса эквивалентности x  .

2) Обратно, если x , то x b по определению класса эквивалентности. Из условия в силу симметричности, имеем b a. Так как x b и b a, то по транзитивности x a. Отсюда, по определению класса эквивалентности x  .

Из 1) и 2) по определению равных множеств, получаем = .

Теорема 3. Любые два класса эквивалентности и по одному и тому же отношению эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство. Для классов и имеет место один и только один из случаев: либо  = , либо   .

Первый случай удовлетворяет заключению теоремы. Во втором случае существует такой элемент c, что c и c . Отсюда, по определению класса эквивалентности, с a и c b . Так как отношение симметрично, то из с a следует, что a c. В силу транзитивности из a c и c b следует a b. Но тогда по теореме 2 = .

Упражнения: 1. Показать, что для   отношение сравнимости по модулю  на множестве Z (пример 3.2, 3.2) имеет  классов эквивалентности.