Доказательство. Ту 8.6.

Определение 8. Бинарное отношение  на множестве A называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Обычно отношение эквивалентности обозначается одним из символов:  , , , , (mod ). Используя вместо записи (a, b)   запись a b , можно придать определению 8.8 следующий вид.

Определение 8. Бинарное отношение на множестве A называется отношением эквивалентности, если

1. (aA) [a a],

2. (a, b A) [a b b a],

3. (a, b, c A) [(a b)  (b c)  a c].

(Символ a b читается: "a эквивалентно b по отношению .)

Примеры. 1. Пусть A  множество прямых какой-нибудь плоскости. Рассмотрим отношение параллельности прямых, считая, что прямые a и b параллельны (a  b), если они лежат в одной и той же плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются.

На основе данного определения и теорем школьной математики доказывается, что

1. (aA) [a a],

2. (a, b A) [a b b a],

3. (a, b, c A) [(a b)  (b c)  a c].

Таким образом, отношение параллельности прямых есть отношение эквивалентности на множестве A.

2. Пусть R  множество действительных чисел,   фиксированное действительное число  0. Будем говорить, что числа a, b R сравнимы по модулю , и писать a  b(mod ), если существует такое целое число k, что a  b = k .

Так как a  a = 0 , то a  a (mod ) для любого a  R.

Пусть a  b(mod ). По определению сравнимости a  b = k, где k  Z. Отсюда b  a = k, где k есть целое число. Следовательно, по определению сравнимости b  a (mod ).

Пусть a  b(mod ) и b  c(mod ). По определению сравнимости ab = k₁ и b  c = k₂, где k₁, k₂  Z. Отсюда ac = (ab) + (bc) = k₁ + k₂ = (k₁ + k₂), где k₁ + k₂  Z. Следовательно, по определению сравнимости a  c (mod ).

Таким образом, отношение сравнимости по mod  есть отношение эквивалентности на множестве R.

3. По теореме 2 отношение равенства множеств есть отношение эквивалентности на произвольной совокупности A множеств.

Также отношениями эквивалентности являются отношение равенства и отношение подобия треугольников плоскости.

4. Бинарное отношение  = {(a, b)a, b A, a  b делится на 3} на множестве A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} есть также отношение эквивалентности. Граф этого отношения изображен на рис. 1.9. Таблица отношения изображена ниже.

Граф, представляющий отношение эквивалентности, обладает свойствами:

1. Каждая вершина графа имеет петлю (рефлексивность).

К аждое ребро графа не ориентировано (симметричность).

2. Для каждой пары ребер, идущих от a к b и от b к c, имеется замыкающее ребро, идущее от a к c (транзитивность).

Таблица (матрица) отношения эквивалентности обладает свойствами:

1. Отмечены все клетки главной диагонали (рефлексивность).

2. Отмеченные клетки симметричны относительно главной диагонали (симметричность).

3.При надлежащей нумерации строк и столбцов, отмеченные клетки таблицы заполняют попарно непересекающиеся квадраты, главные диагонали которых составляют главную диагональ таблицы.

Упражнения: 1. Показать, что отношениям эквивалентности являются отношение подобия треугольников.

2. Привести примеры бинарных отношений, которые удовлетворяют двум из свойств рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности, а не удовлетворяют остальным.

3. Перечислить все отношения эквивалентности на множествах {1, 2} и {1 ,2, 3}.

4. Является ли обратное отношение для отношения эквивалентности отношением эквивалентности.

5. Доказать, что пересечение отношений эквивалентности на множестве A, есть отношением эквивалентности на A.

4. Доказать теорему 1.