Лекция «системы Счисления» По Информатике (Федоренко Н. М

Пример 3: перевести 111.001.100.001

7 1 4 . 1 в восьмеричной.

Пример 4: перевсти двоичное число .0101.1111.0001.0010

5 f 1 . 2 в 16

Для перевод двоичного числа в десятичную систему счисления, достаточно представить число в виде полинола. Затем подставить его в известные коэффиценты и вычислить сумму.

Пример 5: перевести число 11011.11 из двоичной в десятичную = 1 x 2 в 4 + 1 x 2 в 3 + 0 x 2 в 3 + 1 x 2 + 1 x 2 в 0 . 1 x 2 в -1 + 1 x 2 в -2 = 27.75 в десятичной.

Пример 6

2 E 5. A в шестнадцатиричной. = 2 x 16 в 2 + 14 x 16 + 5 x 16 в 0 + 10 x 16 в -1 = 741.625 в десятичной.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмиричную или шестнадцатиричную систему счисления удобно делать с помощью следующего правила: до перевода целого числа из S системы счисления в W систему нужно - последовательно делить это число, а затем получаемые частные на основании W новой системой счисления. До тех пор пока частное не станет меньше W.

Пример 7

Перевести целое десятичное число 37 в двоичноую систему счисления, 37 в результате деления получается как 100101. При переводе наиболее частой ошибкой является неверная запись результата. Запись следует начинать со старшего значищего разряда, а заканчивать младшего значищего разряда. Следует помнить что при деление первом, получается значение младшего значющего заряда.

Для перевода правильноей дроби из с сисетмы счисления, из с системы счисления с основанием h нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание h представленной в старой с системе. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр которое является представолением дроби в h системе счисления.

Обычно перевод дробей из одной системы счисления в другой производят приблизительно.

193 переводим в двоичную, получаем 11000001 в 2

193 переводим в восьмиричную получаем 301 в 8

193 переводим в 16-ричную. получаем С1 в 16ричной.

0.65625. в двоичную, получаем 0.10101

0.65625 в восьмиричную, умножаем на 8. получаем 0.52.

0.65625 в 16-ричную, получаем - 0.А8

0.35 переводим в двоичную и получаем 0110.

Арифметические основы работы ЭВМ. Правило выполнения арифметических операций над двоичными числами задается таблицами сложения вычетания и умножения.

Сложение - 0+0 = 0, 0+1 = 1, 1+0 = 1 1+1 = 10

Вычетание - 0-0=0 0-1=1 1-1=0 10-1=1

Умножение - 0 х0=0 =х1

Правила арифметики во всех позиционных системах счисления аналогичны. В устройствах реализующих операцию арифметического сложения довичныз числе, операнды представляют числами определенной разрядности. При этом не используемые разряда заполняются нулями. Так же заполняются нулями малдшие разряды дробного числа. Следует заметить что в реальных эвм чаще всего используются 64 и 32 разхрядные сетки. При дальнейшем рассмотрение методов выполнения арифметических операций мы не будем обращать внимание на разрядность операндов, то есть мы будем использовать разрядность отличающийся от реальной разрядности ЭВМ. При сложение вещественных чисел в общем случае перенос осуществляется из дробной в целую. Умножение довичных много разрядных чисел, производится путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. Каждое частичное произведение равно О если в соответсвующем разряде множителя стоит ноль или равно множемому сдвинутому на соответсвующее число разрядов влево если в разряде множителя стоит единица.

Таким образом операция умножения многоразрядных двоичных чисел внутри ЭВМ. Сводится к операции сдвига и сложения. Положение точки отделяющую целую часть от дробной части определяется так же, как и при умножение десятичных чисел. Вычеслительной технике с целью упрощения реализации арифметических операций применяют специальные коды. ЗА счет этого облегчается знака результата операции, а операция вычетания числе сводится к операции сложения. В результате упрощаются устройства выполняющие арифметические операции. К вычислительной технике применяют прямой и обратный, дополнительный ходы. Прямой - представление двоичного числа х при котором знак + кодируется нулем в старшем разряде числа. А знак - единицей. При этом старший разряд называется знаковым.

Обратный ход - получаются из прямого кода по следующему правилу. Обратный ход для положительных чисел совпадает с прямым ходом, чтобы представить отрицательное двоичное число в двоичном коде, нужно: оставить в знаковом разряде единицу. ВО всех значащях разрядах заменить единицу на ноль, а ноль на единицу.

Дополнительный ход образуется следующим образом: P доп (x) при х>=0 - 0'Pпр (х). При 1' Pпр (х) +1 при x<0. Дополнительный код положительного числа, совпадает с прямым кодом. А для отрицательного числа получаются инверсии всех значищех разрядов и добавление единцы младшему разряду результата.

Дополнительный ход отрицательного числа может быть получен из обратного кода, путем прибавления единицы к младшему разряду обратного кода (ЕСТЕСТВЕННО С УЧЕТОМ ПЕРЕНОСА МЕЖДУ РАЗРЯДАМИ).

Пример - получить дополнительный код равному числа х = -13D прямой код от числа х будет иметь вид = 1'1101 в 2-ичном виде. Обратный ход = 1'0010 в двоичном виде. Дополнительный код = 1'0011 в двоичном.

Рассмотрим правила сложения двоичных чисел. При алгебраическом сложении двоичных чисел с использованием доп кода, положительные слагаемые представляют в прямом коде, а отрицательные в дополнительном коде и производят ариф суммирование этих кодов, включая разряды знаков, которые при этом рассматриваются, как старшие разряды. При возникновении переноса из разряда знака единицу переноса отбрасывают. В результате получают алгебраическую суму в прямом ходе, если эта сумма положительная и в дополнительном коде если сумма отрицательна.

ЕБАНЫЙ ПРИМЕР. Выполнить алгебраическое сложение с использованием доп кода для чисел. х1=7D x2=-3D

y=x1+x2

P(y) = Pпр(х1) + P доп (х2).

Pпр(х1) = (0'111) в 2оичной.

Pпр(x2) = (1'011) в двоичной.

Для описания аппаратных и програмных ЭВМ, используюется алгебра логики или же булева-алгебра. Основоположником был джордж буль. Основной системой счисления ЭВМ, является двоичная система.

Совакупность значений логических перменных х1 х2 до хнного, называется набором переменных. Логической функцией называется функция принимающая либо 1 либо 0, истина или ложь. Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности. В левой части которой записываются возможные наборы аргументов, а в правой соответствующие значения функции. В случае большого числа аргументов табличный способ задания функции алгебры логики становится грамоздким. Поэтому функцию алгебры логики удобно выражать с помощью других функций алгебры логики.

Общее число функций алгебры логики n перменных определяется возведением числа четыре в степень n. Существуют четыре функции алгебры логики, одной логической переменной.

Функции F0 от х = 0 и F3 от х = 1, являются константами. То есть функции не изменяются при изменение аргумента. Функции F1 от x = x, то есть повторяет значение аргумента х. Функция f2 от х называется отрицанием переменной и обозначается инверсией х. Число функций алгебры логики 2 переменных х1 и х2 = 16.

F0(x) до ... F15(x)

Fo(X) = 0

F3(x) = x1

F5(x) = x2

F10(X) = inversii x2

F12(x) = inversii x1

F15(x) = 1

Из оставшихся десяти лог функций широкое распространение имеют функции. F1 от х - конъюнкция, логическое умножение. Дизъюнкция или сложение. Которая совместно с функцией инверсии составляет функционально полную систему логических функций. С помощью этих трех функций можно представить или аналитически выразить любую лог функцию. Логические перменные объединенные знаками логических операций составляют логические выражения. При определении значения принято следующее старшенство или приоритет логических операций. Сначала выполняется инверсия, затем конъюнкция и в последнюю очередь дизъюнкция, для изменения указанного порядка используют скобки.

Рассмотрим аксиомы, тождества и основные законы алгебры-логики. В алгебре логике рассматриваются переменные которые могут принимать только 2 значения, 0 и единица. Базируется алгебра логика на отношении эквивалентности и трех упомянутых ранее операциях. Певрая - дизъюнкция (операция или или лог сложение). 2 базируется на конъюнкции (операция и или лог умножение). И базируется на отрицание (инверсия, операция нет). Отношение эквивалентности обозначаетс =, дизъюнкция - V или +, конъюнкция /\, отрицание чертой над перменной.

Алгебра логики определяется следующей системой аксиом:

х=о если х не равно 1

х=1 если х не равно 0

1v1 = 1 0/\0 = 0

0v0 = 0 1/\1 = 1

0v1 = 1v0 = 1 1/\0 = 0

инверсия 0 = 1 1/\1 = 0

инверсия 1 = 0.

Если в аксиомах произвести взаимную замену операций дизъюнкции и конъюнкции, а так же элементов 0 и 1. То из одной аксиомы данной пары получаетсф пара другая. Это свойсвто наывается принципом двойственности. С помощью аксиом можно получить ряд тождеств.

Инверсия x v x = 1

0vx = x

1vx=1

xvx=x

Инверсия x /\ x = 0

1/\ x = x

0 /\ x = 0

x /\ x = x

Перечислим законы алгебры логики.

1) х v y = y v x

x /\ y = y /\ x - переместитетльный

2_ Ассоциативный.

(х v y) v z = xv(yvz)

(x/\y) /\ z = xv(y/\z)

3) Расприделительный или дестрибутивный

x/\(yvz) = x/\ y v x/\z

xvy/\z = (xvy)/\(xvz)

4) Двойственности или деморганы

инверсии xvy = инверсии x/\y

Инверсии х /\y = xv

5) Поглощение

xvx/\y = x

x /\ (xvy) = x

6) Склеивание

x/\yvx/\y = x

xvy /\ xvy = x