1.2. Основные тождества (законы и правила) алгебры логики

1) Закон коммутативности для дизъюнкции и конъюнкции:

;

= .

2) Закон ассоциативности для дизъюнкции и конъюнкции:

3) Первый и второй законы дистрибутивности:

4) Законы идемпотентности для дизъюнкции и конъюнкции:

;

.

5) Правила операций с константами:

;

;

6) Правила де Моргана:

7) Законы инверсии для дизъюнкции и конъюнкции:

8) Первый и второй законы склеивания:

9) Первый и второй законы поглощения:

10) Правило двойной инверсии:

1.3. Нормальные формы функций алгебры логики

Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция, в которую каждая переменная входит только один раз либо с отрицанием, либо без него ( ). Число переменных конъюнкции называется рангом элементарной конъюнкции.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция элементарных конъюнкций ( ; и т. д.). Число элементарных конъюнкций, образующих ДНФ, называется ее длиной.

Конституентой называется элементарная конъюнкция ранга n, включающая все переменные функции алгебры логики . Общее число таких конституент равно 2ⁿ, т. е. числу наборов n-переменных.

Конституентой единицы называется конституента, на которой функция алгебры логики обращается в единицу.

Любая функция алгебры логики, кроме нуля, может быть представлена в следующей форме:

где, ;

– степень переменной (если она равна 1, то переменная записывается без отрицания ( ), а если равна 0, то переменная записывается в инверсной форме ( ).

При этом дизъюнкция в правой части (1) берется по тем наборам переменных, на которых функция, заданная таблицей истинности, обращается в единицу, т. е. берутся только конституенты единицы.

Представление функции алгебры логики в виде (1) называется дизъюнктивной совершенной нормальной формой (ДСНФ).

В итоге ДСНФ это ДНФ, все конъюнкции которой имеют один и тот же ранг, равный числу переменных функции.

Любая функция алгебры логики имеет единственную ДСНФ. Для получения ДСНФ функции алгебры логики удобно пользоваться следующими правилами:

1. По заданной функции алгебры логики построить таблицу истинности (таблица, в которой каждому набору значений переменных сопоставляется значение выходного сигнала, называется таблицей истинности функции).

2. Выписать все конституенты единицы, соединив их между собой знаком дизъюнкции.

Пусть дана функция . Построим для нее таблицу истинности. Для удобства определения ДСНФ функции осуществим вычисления по действиям:

х1 х2 х3	a =	b =	c =	d = a b	e = d/c
000	1	1	0	1	1
001	1	0	0	0	1
010	1	0	0	0	1
011	1	1	0	1	1
100	1	1	1	1	0
101	0	0	1	1	0
110	1	0	0	0	1
111	0	1	0	0	1

ДСНФ функции .

Каждой функции алгебры логики можно поставить в соответствие комбинационную схему, её реализующую. Комбинационная схема состоит из базисных элементов, которые являются технической реализацией функций алгебры логики. Базисные элементы графически изображаются в виде прямоугольников, в которых инверсные входы и выход изображают в виде незаштрихованных кружков, в верхнем правом углу ставят 1, если этот элемент реализует функцию дизъюнкции, и & – если элемент реализует функцию конъюнкции, за исключением сложения по модулю 2 и эквивалентности (тогда сверху ставят = 1) (рис. 2а).

Более сложные элементы графически изображают в виде композиции перечисленных базисных элементов (рис. 2б).

Полученная ранее ДСНФ функции, должна состоять из инверторов, конъюнкторов и дизъюнктора, реализующих отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию соответственно. Количество инверторов определяется числом различных переменных, входящих в функцию со знаком отрицания. В рассматриваемом примере все три переменные входят в ДСНФ с отрицанием и, следовательно, схема должна содержать три инвертора. Количество конъюнкторов в схеме определяется числом конституент единицы, входящих в ДСНФ. В нашем примере их шесть.

Рис. 2. Графические изображения базисных элементов

Комбинационная схема, реализующая ДСНФ рассмотренной функции алгебры логики, показана на рисунке 3.

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция, в которую каждая переменная входит только один раз, либо с отрицанием, либо без него ( ). Число переменных дизъюнкции называется рангом элементарной дизъюнкции.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция элементарных дизъюнкций (( ; и т. д.).

Конституентой нуля называется конституента, на которой функция алгебры логики обращается в ноль.

Любая функция алгебры логики, кроме единицы, может быть представлена в следующей форме:

где ;

– степень переменной (если она равна 0, то переменная записывается в инверсной форме ( ), а если равна 1, то переменная записывается без отрицания ( )).

Рис. 3. Комбинационная схема, реализующая ДСНФ

заданной функции

При этом конъюнкция в правой части (1) берется по тем наборам переменных, на которых функция, заданная таблицей истинности, обращается в ноль, т. е. берутся только конституенты нуля.

Представление функции алгебры логики в виде (1) называется конъюнктивной совершенной нормальной формой (КСНФ).

В итоге КСНФ – это КНФ, все дизъюнкции которой имеют один и тот же ранг, равный числу переменных функции.

Любая функция алгебры логики имеет единственную КСНФ. Для получения КСНФ функции алгебры логики удобно пользоваться следующими правилами:

1. По заданной функции алгебры логики построить таблицу истинности.

2. Выписать все конституенты нуля, соединив их между собой знаком конъюнкции.

Пусть дана функция . Построим для нее таблицу истинности. Для удобства определения КСНФ функции осуществим вычисления по действиям:

х1 х2 х3	a=	b=	c=	d=a b	e=d/c
000	1	1	0	1	1
001	1	0	0	0	1
010	1	0	0	0	1
011	1	1	0	1	1
100	1	1	1	1	0
101	0	0	1	1	0
110	1	0	0	0	1
111	0	1	0	0	1

КСНФ функции .

Комбинационная схема, реализующая КСНФ рассмотренной функции алгебры логики, показана на рисунке 4.

Выбор той или иной формы записи функции алгебры логики (ДСНФ или КСНФ) определяется ее таблицей истинности. Если в таблице истинности заданной функции получилось больше конституент нуля, то выгодно записывать ДСНФ функции, в противном случае (если больше конституент единицы) – КСНФ.

Рис. 4. Комбинационная схема, реализующая КСНФ

заданной функции