Введение

Дискретная математика – область математики, изучающая свойства дискретных структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в ее приложениях. К таким структурам могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей информации, конечные автоматы, машины Тьюринга и так далее.

Разделы дискретной математики всегда существовали в математике, но стали выделяться в самостоятельную дисциплину в связи с развитием средств связи и появлением компьютеров.

К разделам дискретной математики относятся:

• математическая логика,

• теория алгоритмов,

• алгебра логики,

• теория конечных автоматов,

• теория дискретных групп,

• теория графов,

• комбинаторика,

• теория чисел и еще много других разделов.

В настоящем учебно-методическом пособии рассматриваются основные положения одного из разделов дискретной математики – алгебры логики, которые наиболее востребованы специалистами в области проектирования электронных схем, приборов и устройств дискретного действия.

1. Основные теоретические положения

1.1. Основные положения алгебры логики

Функциями алгебры логики называют функции, аргументы которых, так же как и сама функция, принимают только два значения – 0 или 1. Алгебра логики является разделом дискретной математики, в которой изучаются методы доказательства истинности (1) или ложности (0) сложных логических конструкций, составленных из простых высказываний, на основе истинности или ложности последних.

Высказывание – языковое предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно в данный момент времени, но не то и другое одновременно.

Высказывания чаще всего обозначают маленькими латинскими буквами a, b, c, х₁, х₂, …

В логике высказываний интересуются не содержанием, а истинностью или ложностью высказываний. Каждому высказыванию сопоставляется переменная, равная 1, если высказывание истинно, и равная 0, если оно ложно.

Высказывание называют простым (элементарным), если оно рассматривается как некое неделимое целое. Сложным (составным) называется высказывание, составленное из простых с помощью логических операций (функций).

К

Таблица 3

аждой логической операции ставится в соответствие таблица истинности. Таблица истинности выражает значения истинности высказываний в зависимости от значений элементарных высказываний. Таблицу истинности используют для установления истинностных значений сложных высказываний при данных значениях входящих в него элементарных высказываний.

Любое высказывание f может быть задано в виде таблицы истинности. Если значение высказыва­ния f зависит от n составляющих высказываний x₁, x₂,…, x_n, то таблица истинности содержит 2ⁿ строк. Составляющее высказы­вание х_i будем называть атомарным (элементарным) высказыванием или просто переменной х_i, рассматривая при этом сложное высказывание как функцию f от n переменных.

Совокупность значений аргументов функции алгебры логики называется набором.

Областью определения функции алгебры логики f (x₁, x₂, …, x_n) является множество всевозможных наборов длины n. Каждому набору аргументов обычно ставят в соответствие двоичное число, образованное последовательностью цифр этого набора. Количество наборов длины n равно количеству различных n-разрядных двоичных чисел, т. е. 2ⁿ, а так как на каждом из этих наборов функция может принимать значения 0 или 1, то от n переменных существует – различных функций. Если значение функции определено для каждого набора значений переменных, то функция называется полностью определенной, в противном случае – не полностью определенной или частичной. Для частичной функции алгебры логики существует 2^r вариантов его доопределения, где r – число наборов на которых функция неопределенна.

В таблице 1 приведены все функции алгебры логики от двух переменных.

Таблица 1

Таблица истинности функций алгебры логики

x1	x2	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Индекс i функциональной переменной f_i, i = 0,1,2,..., 15, равен десятичному эквивалентному набору значений этой функ­ции, читаемому сверху вниз.

f₀ (x₁ x₂) = 0 – константа нуля (0);

f₁ (x₁ x₂) = х₁&х₂ = х₁х₂ – конъюнкция или логическое умножение;

f₂ (x₁ x₂) = – левая коимпликация;

f₃ (x₁ x₂) = ;

f₄ (x₁ x₂) = – правая коимпликация;

f₅ (x₁ x₂) = ;

f₆ (x₁ x₂) = – сложение по модулю 2 или функция неравнозначности, неэквивалентности;

f₇ (x₁ x₂) = – дизъюнкция;

f₈ (x₁ x₂) = – функция Вебба;

f₉ (x₁ x₂) = – функция эквивалентности, равнозначности;

f₁₀ (x₁ x₂) = – отрицание;

f₁₁ (x₁ x₂) = – правая импликация;

f₁₂ (x₁ x₂) = – отрицание;

f₁₃ (x₁ x₂) = – левая импликация;

f₁₄ (x₁ x₂) = – функция Шеффера;

f₁₅ (x₁ x₂) = 1 – константа единицы (1).

Функции, получившие наибольшее распространение в теории и практике применения алгебры логики составляют систему элементарных функций. Это две функции константы нуля и единицы (f₀ и f₁₅, соответственно), функции повторения (f₃ и f₅) и инверсии (отрицание) от одной переменной (f₁₀ и f₁₂), а также следующие функции от двух переменных:

1) конъюнкция (f₁) двух переменных – новая переменная, которая истинна только тогда, когда обе исходных переменных истинны;

2) дизъюнкция (f₇) двух переменных – новая переменная, которая ложна только тогда, когда обе исходных переменных ложны;

3) импликация (f₁₃) двух переменных является новая переменная, которая ложна только тогда, когда первая истинна, а вторая – ложна;

4) эквивалентность (f₉) двух переменных – новая переменная, которая считается истинной, когда обе исходные переменные либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложной – во всех остальных случаях;

5) функция Вебба (f₈) двух переменных – новая переменная, которая истинна только тогда, когда обе исходных переменных ложны;

6) функция Шеффера (f₁₄) двух переменных – новая переменная, которая ложна только тогда, когда обе исходных переменных истинны;

7) функция сложения по модулю 2 (f₆) двух переменных – новая переменная, которая считается ложной, когда обе исходные переменные либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и истинной во всех остальных случаях.

В выражении принимают следующий порядок выполнения операций: инверсии, конъюнкции, дизъюнкции. Если в выражении имеются скобки, то в первую очередь выполняются операции в скобках.

Схемы, составленные из элементов, реализующих логические функции, называются комбинационными схемами (рис. 1). В отличие от схем со свойством запоминания, комбинационные схемы не обладают памятью.

Рис. 1. Обобщенная структура комбинационной схемы