5. Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия Пирсона.

1. Группировка исходных данных

Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определённое значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков. Обозначим через _i количество результатов измерений, попавших в i-тый промежуток. Очевидно, что _i=n.

Критерий ² будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

1. количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n100;

2. в каждом промежутке окажется не менее 5…10 результатов измерений, то есть _i5 при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало, то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

То есть само разбиение имеет вид:

Таким образом, мы приходим к следующему интервальному распределению:

zi-1;zi	-;4,2	4,2;8,4	8,4;12,6	12,6;16,8	16,8;21,0
i	40	36	26	18	12
zi-1;zi	21,0;25,2	25,2;29,4	29,4;33,6	33,6;+
i	10	7	5	6

5.2 Вычисление теоретических частот

Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических частот с теоретическими. Эмпирические частоты _i определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты ^’_i , находят с помощью равенства

^’_i=np_i ,

где n – количество испытаний, а p_iP(z_i-1<x<z_i) – теоретическая вероятность попадания значения случайной величины в i-й промежуток (1  i  l). Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.

Здесь принята гипотеза о показательном распределении случайной величины. В этом случае теоретическая вероятность p_i при любом i вычисляется по одной из следующих трех формул (в зависимости от взаимного расположения i-го промежутка и числа x₀):

…

λ = 0,1

x₀ = 2,12

i	Концы промежутков		ui-1 = λ(zi-1 – x0) (при x0 < zi-1)	ui = λ(zi – x0) (при x0 < zi)	e-ui-1	e-ui	pi = e-ui-1 – e-ui	υ’ = npi
	zi-1	zi
1	-	4,2	0,000	0,208	1.0000	0,8122	0,1878	30,0
2	4,2	8,4	0,208	0,628	0,8122	0,5336	0,2786	44,6
3	8,4	12,6	0,628	1,048	0,5336	0,3506	0,1830	29,3
4	12,6	16,8	1,048	1,486	0,3506	0,2262	0,1244	19,9
5	16,8	21,0	1,486	1,888	0,2262	0,1514	0,0748	12,0
6	21,0	25,2	1,888	2,308	0,1514	0,0994	0,0520	8,3
7	25,2	29,4	2,308	2,728	0,0994	0,0653	0,0341	5,5
8	29,4	33,6	2,728	3,148	0,0653	0,0429	0,0224	3,6
9	33,6	+	3,148	+	0,0429	0	0,0429	6,8
						Σ	1	160

5.3 Статистика ² и вычисление её значения по опытным данным.

В критерии Пирсона в качестве меры расхождения теоретического и статистического распределения используется величина

,

называемая статистикой “хи-квадрат” или статистикой Пирсона (статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений ). Ясно, что всегда ²0, причём ²=0 тогда и только тогда, когда _i=^’_i при каждом i, то есть когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают. Во всех остальных случаях ² 0; при этом значение ² тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты.

Вычислим ²:

I	i	’i
1	40	30,0	3,33
2	36	44,6	1,66
3	26	29,3	0,37
4	18	19,9	0,18
5	12	12,0	0
6	10	8,3	0,35
7	7	5,5	0,41
8	5	3,6	0,54
9	6	6,8	0,09
			6,93

²_набл=6,93