2. Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии.
|
i |
xi |
ni |
xini |
| |||
|
1 |
2,1 |
40 |
84 |
3755,84 | |||
|
2 |
6,3 |
36 |
226,8 |
1085,04 | |||
|
3 |
10,5 |
26 |
273 |
43,27 | |||
|
4 |
14,7 |
18 |
264,6 |
152,46 | |||
|
5 |
18,9 |
12 |
226,8 |
606,62 | |||
|
6 |
23,1 |
10 |
231 |
1279,16 | |||
|
7 |
27,3 |
7 |
191,1 |
1683,92 | |||
|
8 |
31,5 |
5 |
157,5 |
1942,42 | |||
|
9 |
35,7 |
3 |
107,1 |
1715,06 | |||
|
10 |
39,9 |
2 |
79,8 |
1580,34 | |||
|
11 |
44,1 |
1 |
44,1 |
1043,94 | |||
|
|
160 |
1885,8 |
14888,07 | ||||
В качестве точечных оценок числовых характеристик изучаемой случайной величины используются:
для математического ожидания
выборочная
средняя
= (1/160)
*(84 + 226,8 + 273 + 264,6 + 226,8 + 231 + 191,1 + 157,5 + 107,1 +
79,8 + 44,1) = 1885,8 / 160 =
11,79
для дисперсии
s2 = (3755,84 + 1085,04 + 43,27 + 152,46 + 606,62 + 1279,16 + 1683,92 + 1942,42 + 1715,06 + 1580,34 + 1043,94) / 159 = 93,64
s = 9,67
s2 – исправленная выборочная дисперсия
В статистических расчётах используют приближённые равенства:
.
выборочная
средняя
исправленная
выборочная дисперсия
и
параметры
3. Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины.
При выдвижении гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины опираемся лишь на внешний вид статистического распределения. Полигон относительных частот в первом приближении представляет собой график плотности распределения вероятностей.
Существует три основных вида распределений – нормальное, показательное и равномерное.
Нормальное ( или гауссовское ) распределение с параметрами
и
,
где
,
:
,
е=2,71828… , =3,14159…
Показательное ( или экспоненциальное ) распределение с параметрами
и
,
где
,
:
Равномерное распределение на отрезке
,
где
:
По виду графиков полигона и гистограммы основных распределений делаем вывод: распределение показательное.
4. Построение графика теоретической плотности распределения.
Чтобы
выписать плотность теоретического
(предполагаемого) распределения, нужно
определить значения параметров a
и
.
Все параметры распределений тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины:
,
.
Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, то есть используют приближённые равенства
,
,
что позволяет найти значения параметров распределения.
Найдем параметры распределения:
λ = 1/s = 1/9,67 = 0,10
x0 = x – s = 11,79 – 9,67 = 2,12
Строим таблицу:
|
xi |
ui = λ(xi-x0) |
e-uj |
f(xi) = λ e-uj |
|
2,1 |
0 |
1,0000 |
0,1000 |
|
6,3 |
0,418 |
0,6583 |
0,0658 |
|
10,5 |
0,838 |
0,4326 |
0,0432 |
|
14,7 |
1,258 |
0,2842 |
0,0284 |
|
18,9 |
1,678 |
0,1867 |
0,0186 |
|
23,1 |
2,098 |
0,1227 |
0,0122 |
|
27,3 |
2,518 |
0,0806 |
0,0080 |
|
31,5 |
2,938 |
0,0529 |
0,0052 |
|
35,7 |
3,358 |
0,0348 |
0,0034 |
|
39,9 |
3,778 |
0,0228 |
0,0022 |
|
44,1 |
4,198 |
0,0150 |
0,0015 |
После чего на одном чертеже cтроим гистограмму и график
теоретической плотности распределения:
