Граничное условие на поверхности твердых тел для идеальной жидкости

Границы области, занятой жидкостью, бывают двух типов (рисунок 5.3):

1. Твердые (границы твердых тел, движущихся в жидкости);

2. Свободные, форма которых заранее не известна (например, покрытая волнами поверхность моря).

Граничное условие на поверхности твердого тела в идеальной жидкости называется условием непроницаемости и записывается в виде:

где - проекция скорости жидкости на нормаль к поверхности тела;

- нормальная составляющая скорости рассматриваемой точки поверхности тела.

Рисунок 5.3 – Свободные поверхности и твердые границы.

Это условие означает, что жидкость не проникает внутрь тела и не отрывается от него. Если тело неподвижно, то условие непроницаемости на его поверхности имеет вид

Другим типом границ являются так называемые свободные поверхности, положение и движение которых заранее не известны, но известны силы, действующие на них. Примерами свободных поверхностей являются поверхность воды в реке или в море, а также границы струй.

Для идеальных жидкостей и газов граничными условиями на свободной поверхности, уравнение которой запишем в виде ( - неизвестная, подлежащая определению функция времени и координат) являются следующие два условия:

а) кинематическое условие:

или, что равносильно, при ,

где - скорость границы по нормали к ней;

б) динамическое условие

при ,

где – заданное давление внешней среды на поверхности жидкости.

5.4 Несжимаемая идеальная жидкость. Полная система уравнений

Несжимаемая жидкость – это жидкость, в каждой индивидуальной частице которой .

Отметим, что может иметь различные значения для разных частиц, если среда неоднородная, поэтому в разных точках пространства в разные моменты времени плотность может быть разной – в зависимости от того, какая частица находится в данный момент в рассматриваемой точке. Следовательно, в несжимаемой, но неоднородной жидкости при эйлеровом описании плотность может зависеть от координат и времени. Условие несжимаемости можно записать в виде:

Если раскрыть полную производную по времени , получим

Система уравнений несжимаемой идеальной жидкости состоит из следующих уравнений:

	- условие несжимаемости	(5.6)
	- уравнение неразрывности	(5.7)
	- уравнение Эйлера	(5.8)
	- уравнение притока тепла	(5.9)
	- второй закон термодинамики	(5.10)
	- выражение для плотности внутренней энергии	(5.11)
	- формула для притока тепла по закону Фурье.	(5.12)

Уравнения (5.6)-(6.8) представляют собой систему механических уравнений, а уравнения (5.9)-(5.12) систему термодинамических уравнений.

Система механических уравнений замкнута. Она содержит в случае неоднородной жидкости 5 неизвестных и 5 уравнений. Для однородной жидкости - известная константа, одинаковая во всех частицах, тогда имеем 4 неизвестных и 4 уравнения (5.7),(5.8).