5 Законы сохранения и универсальные уравнения механики сплошных сред

В этом разделе мы сформулируем так называемые универсальные, то есть верные для любых сред, физические «законы сохранения» и выведем из них уравнения, связывающие различные параметры движущейся среды.

5.1 Закон сохранения массы и уравнение неразрывности

Индивидуальным объемом сплошной среды называется объем, состоящий из одних и тех же материальных частиц.

Закон сохранения массы утверждает, что масса индивидуального объема постоянна:

или

В механике сплошных сред представляет интерес не столько общая масса объема, сколько распределение массы по объему, которое характеризуется распределением плотности.

Плотность вводится следующим образом. Пусть в объеме содержится масса , тогда среднее по всему объему значение плотности равно

Для малого объема с массой имеем: , а значение плотности в точке определяется формулой

Здесь означает, что стягивается к рассматриваемой точке.

Последняя формула записывается также в виде

(конечно, в левой части стоит просто отношение бесконечно малых величин, а не производная по !). Масса бесконечно малой частицы равна , а суммарная масса в объеме равна

Рассмотрим баланс массы жидкости в произвольном элементе объема сплошной среды , ограниченном поверхностью .

Приравнивая приращение массы жидкости в элементе за время

притоку массы жидкости через поверхность элемента за то же время

и преобразуя поверхностный интеграл в объемный с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, получаем интегральное соотношение

(5.2)

откуда в силу произвольности элемента и непрерывности всех полей вытекает дифференциальное уравнение неразрывности

(5.3)

Для уравнения (5.3) можно использовать также эквивалентную запись:

(5.4)

Уравнение неразрывности для несжимаемой среды

Несжимаемая среда – это среда, в каждой индивидуальной частице которой , следовательно, . В этом случае уравнение неразрывности (5.4) принимает вид:

(5.5)

Если среда несжимаемая, но неоднородная (то есть плотность в разных частицах различна), то хотя бы одна из производных , , не равна нулю, следовательно, в общем случае и . Для неоднородной среды условие несжимаемости , то есть соотношение

представляет собой дифференциальное уравнение для нахождения распределения плотности в пространстве.

5.2 Понятие математической модели среды. Универсальные уравнения и определяющие соотношения

Математическая модель сплошной среды – это

1. Система количественных характеристик интересующих нас процессов в среде,

2. Система уравнений, решение которой позволяет определить характеристики любого изучаемого процесса в этой среде.

Полная система уравнений для любой среды состоит из универсальных уравнений (то есть выполняющихся для всех сред) и так называемых определяющих соотношений, которые описывают свойства конкретной среды или группы сред.

Система универсальных уравнений включает в себя:

1. уравнение неразрывности;

2. уравнения движения;

3. уравнения момента количества движения;

4. уравнение притока тепла.

В общем случае, для расчета конкретных процессов, помимо уравнений, требуется задать так называемые граничные и начальные условия.

Жидкость или газ – это среда, в которой в состоянии покоя отсутствуют касательные напряжения, т.е. в состоянии покоя вектор напряжений на любой площадке направлен по нормали к ней:

В твердом теле это не так. Например, тяжелый твердый кирпич может лежать на наклонной плоскости АВ (рисунок 5.1). При этом на площадках, параллельных плоскости АВ, действуют касательные силы, которые уравновешивают силу тяжести. «Жидкий» кирпич на наклонной плоскости лежать не может, жидкость будет течь.

Р

В

исунок 5.1 – Твердый кирпич на наклонной поверхности

Физически газы и жидкости (иногда говорят «капельные жидкости») – разные среды. Например, газы легко сжимаются под действием сил, а плотность жидкостей меняется незначительно даже под действием очень больших сил. Однако математически они описываются одинаково, поэтому в дальнейшем мы часто будем употреблять термин «жидкость», имея ввиду как капельную жидкость, так и газ.

Для любой жидкости в состоянии покоя выполняется следующее равенство:

где - давление, а матрица компонент тензора напряжений в декартовой системе координат имеет вид:

то есть где – символ Кронекера ( ).