3.3 Выражение тензора деформаций через вектор перемещений

Пусть тело , содержащее точку M до деформации (в момент времени ), после деформации (в момент времени ) переходит в тело . При этом точка M переходит с точку M^* (рисунок 3.5). Перемещение точки определим как разность радиус-векторов и соответственно:

(4.10)

где - вектор перемещений с компонентами

, – радиус-вектор точки в начальном и конечном положении соответственно.

Вектором перемещений называется вектор, проведенный из начального положения точки сплошной среды в ее конечное положение.

Рисунок 4.6 – Схематическое изображение вектора перемещения

Соответственно, в рассматриваемой декартовой системе координат для компонент вектора перемещений верны соотношения:

, то есть .

с использованием которых из (3.2) выводятся следующие формулы:

(4.11)

В случае малых относительных перемещений величины малы, их произведениями можно пренебречь по сравнению с ними самими. Кроме того, в этом случае производные по мало отличаются от производных по . Поэтому при малых относительных перемещениях используются следующие выражения для компонент тензора деформаций:

(4.12)

Величина коэффициента относительного изменения объема при малых деформациях может быть найдена по формуле:

(4.13)

В силу того, что шесть компонент тензора деформаций выражаются через производные только от трех функций – компонент вектора перемещений, не могут быть произвольными функциями координат. Они удовлетворяют некоторым соотношениям, которые называются уравнениями совместности. В случае малых относительных перемещений уравнения совместности могут быть получены исключением из соотношений (3.12). В декартовых координатах они могут быть записаны следующим образом:

(4.14)

Здесь индексы могут принимать значения 1, 2, 3. Однако из 81 соотношений (3.14) независимыми являются только 6. Это, например, соотношения, получающиеся при равных 1221, 1331, 2332, 1321, 2312, 3213.

3.4 Тензор скоростей деформаций. Вектор вихря

Компоненты тензора скоростей деформаций в некоторой точке M сплошной среды определяются формулами:

(4.15)

Здесь - компоненты тензора малых деформаций, произошедших в окрестности точки M за малое время . Из определения виден механический смысл компонент тензора скоростей деформаций: - это скорости относительных удлинений отрезков, в данный момент параллельных координатным осям, а при равны половинам скоростей изменения углов между отрезками, в данный момент параллельными соответственно осям и . Величина первого инварианта тензора скоростей деформаций равна скорости относительного изменения объема среды в малой окрестности соответствующей точки при деформировании.

Из формул (4.12), учитывая, что предел отношения величины перемещения точки к величине промежутка времени , за который произошло это перемещение, равен скорости этой точки, выводятся следующие формулы:

(4.16)

В частности, для скорости относительного изменения объема с помощью формулы (4.13) получаем

.

(4.17)

Если среда несжимаемая, то величина объема каждой индивидуальной частицы не меняется. Таким образом, для несжимаемой среды

Вектором вихря называется вектор, определяемый формулой

В декартовых координатах компоненты вектора вихря вычисляются по формулам

.

В малой окрестности любой точки M сплошной среды для скоростей всех близких точек имеет место следующая формула Коши-Гельмгольца:

		(4.18)

где – скорость точки M (эту точку можно условно назвать центром),

- векторы базиса декартовой системы координат;

- радиус-вектор близкой точки относительно точки M;

- компоненты вектора ;

– вектор вихря.

Последний член в правой части этой формулы есть скорость за счет вращения частицы с мгновенной угловой скоростью . Формула (4.17) утверждает, что в малой окрестности любой точки сплошной среды движение представляет собой сумму поступательного и вращательного движения со скоростью , движения, связанного с деформированием (второй член в правой части), и вращения с угловой скоростью . Если бы частица не деформировалась, то второй член в правой части формулы (4.17) был бы равен нулю, и формула превратилась бы в известную формулу Эйлера для распределения скоростей в абсолютно твердом теле. В этом случае все материальные отрезки в частице вращались бы с мгновенной угловой скоростью . За счет деформации разные отрезки в частице поворачиваются вовсе не одинаково. Существенно также, что если среда при движении деформируется, то вектор в разных точках разный.

Если вектор вихря во всех точках равен нулю, то движение называется безвихревым. Можно доказать, что для безвихревого движения существует потенциал скорости, то есть такая функция , что

В случае, когда существует потенциал скорости, движение называется потенциальным.