4.2 Задача о максимальном потоке (алгоритм Форда-Фалкерсона)

Решение задачи состоит из подготовительного этапа и конечного числа шагов, на каждом из которых происходит допустимое увеличение потока. На подготовительном этапе формируется матрица пропускных способностей дуг сети.

Таблица 4.1.

Матрица пропускных способностей дуг сети

	8	10	26	21	9	25	32	35	3
8	-	23	23	23	23	23-
10	8	-	8
26	6	6	-	6			6
21	18		18	-	18		18
9	11			11	-	11	11	11
25	31+				31	-		31	31-
32			9	9	9		-	9	9
35					5	5	5	-	5
3						7+	7	7	-

По табл. 4.1. находим путь со станции 8 в 3 из позы-тивной пропускной способностью. Элементы этого пути обозначаем знаком «минус», а симметричные - знаком «плюс». Определяем пропускную способность найденного пути, равной наименьшей из пропускных способностей дуг:

.

Определяются остаточные пропускные способности дуг найденного пути и симметричных ему дуг. Для этого из элементов табл. 4.1. вычитаем , а к элементам добавляем . В результате получим новую табл. 4.2 с измененными пропускными способностями.

Таблица 4.2.

Матрица пропускных способностей дуг сети

	8	10	26	21	9	25	32	35	3
8	-	23	23	23	23-	0
10	8	-	8
26	6	6	-	6			6
21	18		18	-	18		18
9	11+			11	-	11	11	11-
25	54				31	-		31	8
32			9	9	9		-	9	9
35					5+	5	5	-	5-
3						30	7	7+	-

Обозначаем столбце табл. 4.2, находим второй путь со станции 8 в 3, и расставляем знаки. Определяем пропускную способность найденного пути, равной наименьшей из пропускных способностей дуг:

.

Изменим пропускные способности обозначенных дуг на (табл. 4.3).

Таблица 4.3.

Матрица пропускных способностей дуг сети

	8	10	26	21	9	25	32	35	3
8	-	23	23	23-	18	0
10	8	-	8
26	6	6	-	6			6
21	18+		18	-	18		18-
9	16			11	-	11	11	6
25	54				31	-		31	8
32			9	9+	9		-	9	9-
35					10	5	5	-
3						30	7+	12	-

Обозначив столбце находим .

Величина потока по пути : .

Рассчитав новые пропускные способности дуг, приходим к табл. 4.4.

Таблица 4.4.

Матрица пропускных способностей дуг сети

	8	10	26	21	9	25	32	35	3
8	-	23	23	14	18-	0
10	8	-	8
26	6	6	-	6			6
21	27		18	-	18		9
9	16+			11	-	11-	11	6
25	54				31+	-		31	8-
32			9	18	9		-	9
35					10	5	5	-
3						30+	16	12	-

Обозначив столбце находим .

Величина потока по пути : .

Рассчитав новые пропускные способности дуг, приходим к табл. 4.5.

Таблица 4.5.

Матрица пропускных способностей дуг сети

	8	10	26	21	9	25	32	35	3
8	-	23	23	14	10	0
10	8	-	8
26	6	6	-	6			6
21	27		18	-	18		9
9	24			11	-	3	11	6
25	54				39	-		31
32			9	18	9		-	9
35					10	5	5	-
3						38	16	12	-

Просматривая строки и обозначая столбце убеждаемся в том, что столбец 3 обозначить невозможно. Итак, больше не существует ни одного пути с положительной пропускной способностью с вершины 8 в вершину 3.

Заключительный Шаг. Вычитая из элементов табл. 4.1 соответствующие эле-ти табл. 4.5, получим табл. 4.6.

Таблица 4.6.

Матрица пропускных способностей дуг сети

	8	10	26	21	9	25	32	35	3
8	-			9	13	23
10		-
26			-
21	-9			-			9
9	-13				-	8		5
25	-23				-8	-			31
32				-9			-		9
35					-5			-	5
3						-31	-9	-5	-

Положительные элементы этой таблицы характеризует величины дуговых потоков. Величина максимального потока равна сумме элементов 8-й строки табл. 4.1 или сумме элементов 3-го столбца. Все дуги разреза являются насыщенными.