3.3. Задача о максимальном потоке (алгоритм Форда-Фалкерсона)
При анализе транспортных сетей часто возникает задача определения максимального потока, может пропустить данная сеть, а также задача распределения этого потока по дугам сети.
С
математической точки зрения задача о
максимальном потоке формулируется
следующим образом: при заданной
конфигурации сети и известной пропускной
способности
найти неотрицательные значения
,
удовлетворяющие условиям и, которые
максимизируют функцию
,
т.е.
Алгоритм
для нахождения максимального потока
был предложен Фордом и Фалкерсоном и
заключается в постепенном увеличении
потока, пропускаемого по сети до тех
пор, пока он не станет наибольшим.
Алгоритм основан на теореме Форда-Фалкерсона:
в любой транспортной сети максимальный
поток из источника
в сток
,
равна минимальной пропускной способности
разреза, отделяет
от
.
Решение задач моделирования транспортной сети
4.1. Задача поиска кратчайшего пути (наименьшей длины)
На рис. 4.1 показана транспортная сеть, состоящая из девяти городов (расстояние между городами (в километрах) приведена у дуг сети). Необходимо найти кратчайшее расстояние от города Львов (узел 8) до всех городов.
Рис. 4.1. Транспортная сеть
Шаг 0. Назначаем узловые 8 постоянную метку [0, -].
Шаг 1. Из узла 8 можно достичь узлов 10, 26, 21, 9 и 25. Вычисляем метки для этих узлов, в результате получаем следующую таблицу меток:
-
Узел
Метка
Статус метки
8
Постоянная
10
<-Временная
26
Временная
21
Временная
9
Временная
25
Временная
Среди узлов 10, 26,
21, 9 и 25, узел 10 имеет наименьшее значение
расстояния (
).
Поэтому статус метки этого узла изменяется
на «постоянная».
Шаг 2. Из узла 10 (последнего узла с постоянной меткой) можно попасть в узел 26. Получаем следующий список узлов:
-
Узел
Метка
Статус метки
8
Постоянная
10
Постоянная
26
<-Временная
26
Временная
21
Временная
9
Временная
25
Временная
Временный статус
метки
узла 26 заменяется на постоянный (
).
Шаг 3. Из узла 26 можно достичь узов 21 и 32. После вычисления меток получим следующий их список:
-
Узел
Метка
Статус метки
8
Постоянная
10
Постоянная
26
Постоянная
21
<- Временная
21
Временная
9
Временная
25
Временная
32
Временная
Временный статус
метки
узла 21 заменяется на постоянный (
)
Шаг 4. Из узла 21 можно достичь узлов 32 и 9. После вычисления меток получим следующий их список:
-
Узел
Метка
Статус метки
8
Постоянная
10
Постоянная
26
Постоянная
21
Постоянная
9
<-Временная
9
Временная
25
Временная
32
Временная
32
Временная
Временный статус
метки
узла 9 заменяется на постоянный (
).
Шаг 5. Из узла 9 можно достичь узлов 32, 35 и 25. После вычисления меток получим следующий их список:
-
Узел
Метка
Статус метки
8
Постоянная
10
Постоянная
26
Постоянная
21
Постоянная
9
Постоянная
25
<-Временная
25
Временная
32
Временная
32
Временная
35
Временная
Временный статус
метки
узла 25 заменяется на постоянный (
).
Шаг 6. Из узла 25 можно достичь узлов 35 и 3. После вычисления меток получим следующий их список:
-
Узел
Метка
Статус метки
8
Постоянная
10
Постоянная
26
Постоянная
21
Постоянная
9
Постоянная
25
Постоянная
32
<-Временная
3
Временная
35
Временная
35
Временная
Временный статус
метки
узла 32 заменяется на постоянный (
).
Шаг 7. Из узла 32 можно достичь узлов 35 и 3. После вычисления меток получим следующий их список:
-
Узел
Метка
Статус метки
8
Постоянная
10
Постоянная
26
Постоянная
21
Постоянная
9
Постоянная
Узел
Метка
Статус метки
25
Постоянная
32
Постоянная
3
Временная
3
Временная
35
<-Временная
35
Временная
Временный статус
метки
узла 35 заменяется на постоянный (
).
Шаг 8. Из узла 35 можно достичь узел 3. После вычисления меток получим следующий их список:
-
Узел
Метка
Статус метки
8
Постоянная
10
Постоянная
26
Постоянная
21
Постоянная
9
Постоянная
25
Постоянная
32
Постоянная
35
Постоянная
3
Временная
3
<-Временная
На последнем шаге
найдено самое короткое расстояние до
узла 3 -
.
Таким образом статус метки 3 узла меняется
на постоянный.
Конечный результат меток имеет следующий вид:
-
Узел
Метка
Статус метки
8
Постоянная
10
Постоянная
26
Постоянная
21
Постоянная
9
Постоянная
25
Постоянная
32
Постоянная
35
Постоянная
3
Постоянная
Кратчайший путь между узлом 8 и любым другим узлом определяется начиная с узла назначения путем прохождения их в обратном направлении с помощью информации, представленной в постоянных меткам. Кратчайший маршрут между узлами 8 и 3 имеет такую последовательность узлов:
Таким образом, получаем путь общей протяженностью 1429 км.