5.6.4. Определение кубических сплайн-функций

Функция, которая составлена из полиномов k-й степени и в узлах является (k – 1) раз непрерывно дифференцируемой, называется сплайн-функ­цией. Если заданы также опорные точки, через которые проходит кривая, описываемая этой функцией, то она называется интерполирующей сплайн-функцией или сплайном.

Функция Q(u) называется кубическим сплайном, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Задан упорядоченный набор из n + 1 точки u₀,…, u_n (узлы сплайна) и соответствующие узлам опорные точки S₀,…, S_n.

2. На каждом интервале (u_k, u_k–1) для k = 0, 1, 2,…n – 1 функция Q(u) является кубическим полиномом f_k(u) (k =3):

f_k(u) = A_k(u – u_k)³ + B_k(u – u_k)² + C_k(u – u_k) + D_k.

3. В узлах u₀,…, u_n функция принимает заданные значения S₀,…, S_n:

Q(u_k) = S_k, k = 0, 1, 2,…n.

4. На всём интервале, включая и узлы, Q(u) должна быть дважды непрерывно дифференцируемой функцией:

f_k^ (u_k) = f_{k + 1}^ (u_k),

f_k^ (u_k) = f_{k + 1}^ (u_k).

5. Заданы значения первых производных в граничных точках u₀ и u_n или значения первых двух производных в граничной точке u₀.

Преимущества кубических сплайнов:

1. Удобство использования, так как для построения кривой необходимы только значения сплайн-функции в узлах (опорные точки) и значения первых производных в концевых точках.

2. На каждом интервале кривая определяется кубическим полиномом.

3. Так как кривая на всем интервале дважды непрерывно дифференцируема, то у неё нет точек перегиба.

5.6.5. Представление пространственной кривой по Эрмиту

Для конструирования пространственной кривой с использованием интерполяционных полиномов Эрмита необходима геометрическая информация о концевых точках кривой и задание первых n производных в этих точках. Для интерполяции кривой на заданном интервале используются кубические полиномы следующего вида:

x(u) = a_xu³ + b_xu² + c_xu + d_x;

y(u) = a_yu³ + b_yu² + c_yu + d_y;

z(u) = a_zu³ + b_zu² + c_zu + d_z.

При определении коэффициентов a_x, b_x, c_x, d_x с использованием координат концевых точек, а также концевых касательных векторов получаем представление кривой в матричной форме:

,

где U – матрица-вектор степеней параметра, U = (u³, u², u, 1);

M_H – матрица Эрмита:

;

G_H – вектор координат концевых точек кривой:

;

P(0), P(1) – координаты концевых точек кривой.

Желаемую форму кривой можно получить при изменении длины касательных векторов или их направления.

Интерполяция пространственной кривой по Эрмиту позволяет построить гладкую кривую, но для получения её желаемой формы необходимо относительно плотно установить опорные точки (концевые точки сегментов).

5.6.6. Представление кривой по Безье

Кривая в форме Безье аппроксимирует ломаную, вершинами которой являются опорные точки (рис.). Эту ломаную называют характеристической ломаной заданной кривой. Граничные точки кривой Безье совпадают с крайними вершинами характеристической ломаной, причём первое и последнее звенья ломаной являются касательными к кривой соответственно в начальной и конечной точках. Форма кривой Безье зависит от расположения вершин характеристической ломаной.

Представление кривой Безье в матричной форме имеет вид:

,

где M_B – матрица Безье:

;

G_B – вектор координат концевых точек кривой, G_B = G_H.

Достаточным условием гладкости соединения двух кривых Безье является равенство в концевых точках соединяемых сегментов касательных векторов этих сегментов.

Недостатком параметрического представления кривой по Безье является тот факт, что степень кривой растёт пропорционально количеству звеньев характеристической ломаной, а изменение вершин ломаной влияет на всю форму кривой.