5.6. Описание аналитически неописываемых геометрических объектов

2-го уровня

5.6.1. Требования к методам описания ан кривых и поверхностей

1. Использование минимума параметров, которые могут быть легко определены.

2. Метод должен допускать локальные и глобальные изменения формы кривых и поверхностей (рис.).

3. Параметры описания должны иметь возможность непрерывно изменяться, даже если кривая имеет кусочно-гладкий вид. Под гладкой дугой понимается дуга кривой с непрерывно изменяющимися касательными.

4. Описание должно обеспечивать возможность определения точек перегиба кривой в случае кривых и точек или кривых пересечения в случае поверхностей.

5. Для описания кривой желательна непрерывность как можно более высокого порядка.

6. В предельном случае метод должен допускать построение прямых линий или плоских поверхностей.

7. Метод должен обеспечивать гладкое соединение кривых или поверхностей.

8. Описание должно предусматривать возможность преобразования и изображения кривых в пространстве.

9. Метод должен предусматривать независимое определение координат произвольной точки объекта.

10. Кривая или поверхность должна быть сегментируемой (кусочно-составной) при сохранении своей исходной формы.

Выполнение этих требований обеспечивается путём использования аппроксимации или интерполяции.

Аппроксимация состоит в определении приближенного описания для исходной кривой или поверхности. Интерполяция – частный случай аппроксимации, в котором требуется согласование исходной и аппроксимирующей кривой в заданных опорных точках.

5.6.2. Аппроксимация кривых с помощью полиномов

Произвольные непрерывные кривые в пространстве можно аппроксимировать аналитически описываемыми объектами: отрезками, дугами окружностей, параболами или кривыми более высокого порядка. Однако применение этих методов ведёт к большим объёмам обрабатываемой информации и требует значительных затрат ресурсов, связанных с разбиением пространственной кривой на отдельные сегменты.

Наиболее известными методами конструирования кривых и поверхностей являются полиномиальная интерполяция Лагранжа и Эрмита. Такой полином для плоской кривой имеет следующий вид:

,

где a_i – коэффициенты полинома; n – порядок полинома.

Если заданы координаты n + 1 точки кривой, то коэффициенты получают как решение системы из n + 1 уравнений.

Преимущества такой аппроксимации:

1. Малая трудоёмкость.

2. Простота вычисления коэффициентов.

Однако такое представление имеет ряд существенных недостатков:

1. Вид аппроксимирующего полинома зависит от выбора системы координат и преобразований над объектом.

2. Зависимость между коэффициентами полинома a_i и формой кривой не является очевидной, а выявляется только после соответствующих преобразований. Одному значению параметра может соответствовать несколько значений зависимых переменных.

Указанные недостатки характерны также и для пространственных кривых и поверхностей. Вследствие этого обычно используют не явные (канонические), а параметрические формы представления объектов.

5.6.3. Параметрическое описание кривой в форме Фергюсона

Параметрическое задание пространственной кривой имеет следующий вид:

x = x(u); y = y(u); z = z(u),

где u  I; I – интервал описания.

Каждому значению параметра u соответствует одно значение зависимых переменных. При этом каждая переменная изменяется независимо от других. Выбор системы координат не влияет на форму кривой.

Для описания кривых обычно используются методы кусочно-линейной аппроксимации полиномами, заданными в параметрической форме. При выборе конкретного метода из множества возможных необходимо выполнить ряд требований:

1. Методы должны обеспечивать гладкое соединение отдельных кривых (сегментов поверхностей)

2. Методы должны обеспечивать возможность управления формой кривой путём изменения небольшого количества параметров.

3. Включение нового сегмента кривой не должно нарушать гладкость всей кривой.

Перечисленным требованиям удовлетворяет, например, кривая в форме Фергюсона. Плоская кривая в этой форме описывается уравнением вида:

P(u) = mu³ +nu² + pu + q,

где u – параметр;

m, n, p, q – постоянные коэффициенты.

Значения коэффициентов определяются из следующих предположений:

– значение параметра u в начальной точке кривой равно 0; а в конечной точке – 1;

– известны координаты граничных точек кривой P(0) и P(1), а также значения производной в этих точках.

С учётом этих предположений величины m, n, p, q находятся из решения следующей системы уравнений:

Решив эту систему, получаем:

m = 2 (A – B) + C + D;

n = 3 (B – A) – 2C – D;

p = C;

q = A.

Параметрическая кривая, заданная в форме Фергюсона, имеет следующие свойства:

1. Кривая полностью определена условиями, заданными в граничных точках.

2. Касательные к кривой, проведенные в граничных точках, параллельны векторам производной. Поэтому возможно гладкое соединение сегментов кривых, если равны координаты их граничных точек.

3. Изменение модулей векторов производных приводит к изменению формы кривой.