6. Взаимное положение прямой и плоскости

Взаимное положение прямой и плоскости в пространстве может быть следующим:

а) прямая лежит в плоскости;

б) прямая пересекает плоскость;

в) прямая параллельна плоскости.

Для определения взаимного положения прямой и плоскости переходят к дополнительному построению: через данную прямую проводят плоскость и рассматривают взаимное положение данной прямой АВ и прямой MN, по которой пересекаются вспомогательная плоскость и данная. При этом возможны три случая:

а) прямая MN сливается с АВ, что означает, что АВ лежит в плоскости α;

б) прямая MN пересекает АВ, что означает, что АВ пересекает плоскость α;

в) прямая MN параллельна АВ, следовательно, АВ параллельна плоскости α.

Итак, из вышесказанного следует, что для определения взаимного положения прямой и плоскости:

1. через данную прямую проводят вспомогательную плоскость и строят линию пересечения этой плоскости с данной;

2. устанавливают взаимное положение данной прямой и прямой пересечения плоскостей; найденное положение и определяет взаимное положение прямой и плоскости.

Предлагаемый способ вспомогательных плоскостей будет часто использоваться и дальше. Вспомогательные плоскости подбирают таким образом, чтобы построения были максимально простыми.

1. . Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или двум плоскостям проекций

Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекции, проецируется на неё в виде прямой. На этой прямой (проекции плоскости) должна находиться соответствующая проекция точки пересечения прямой линии с плоскостью (рис.35).

Рис. 35 Пересечение прямой с фронтально проецирующей плоскостью

Проецирующая плоскость может быть задана треугольником, тогда построение выглядит следующим образом (рис.36): Здесь фронтальная проекция треугольника – прямая линия, т.к. он расположен перпендикулярно плоскости _2.

Для наглядности:

1. плоскости считают непрозрачными;

2. отрезки прямой, находящейся за плоскостью, невидимы и показывают пунктиром;

3. видимость отрезка определяется методом конкурирующих точек (см. рис.35,36).

Рис. 36 Пересечение прямой линии с треугольником, расположенным перпендикулярно фронтальной плоскости проекций

2. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Для построения точки пересечения прямой линии MN с плоскостью общего положения (рис. 37) необходимо:

1. через данную прямую MN провести вспомогательную проецирующую плоскость α;

2. найти линию пересечения 1-2 данной плоскости β и вспомогательной α;

3. найти точку (К) пересечения заданной прямой MN и построенной прямой 1-2;

4. определить видимость прямой MN методом конкурирующих точек.

а)
б)

Рис. 37 Пересечение прямой с плоскостями общего положения:

а) плоскость задана пересекающимися прямыми;

б) плоскость задана треугольником

Если плоскость общего положения задана следами (плоскость β), то построение выглядит так, как показано на рис.38. Вспомогательная плоскость α – горизонтально-проецирующая.

Рис. 38 Построение точки пересечения отрезка прямой с плоскостью β

В тех случаях, когда прямая не является прямой общего положения, а, например, перпендикулярна ₁ (рис.39), стандартным рекомендуемым способом точку её пересечения с плоскостью не построить. В этом случае необходимо искать общую точку для прямой АВ и плоскости α. Горизонтальная проекция этой точки К' совпадает с горизонтальной проекцией прямой А'В'. А Фронтальную проекцию точки К" находим, проведя горизонталь плоскости h', h".

Рис. 39 Пересечение горизонтально-проецирующей прямой

с плоскостью общего положения α