2. Пересекающиеся плоскости

Если хотя бы одна пара следов пересекается, то плоскости пересекаются.

Линия пересечения двух плоскостей вполне определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям (рис.47). MN – линия пересечения плоскостей общего положения α и β, где точки М и N являются следами линии пересечения.

Если одна из плоскостей проецирующая (в данном случае плоскость α – горизонтально-проецирующая), то линия пересечения очевидна – это линия 1-2 (рис.48).

Рис.48 Пересечение треугольника горизонтально-проецирующей плоскостью

Если одна из плоскостей (плоскость β) параллельна плоскости ₁ (рис.49), т.е. горизонтальная, а вторая - плоскость общего положения (плоскость α), то линией их пересечения будет горизонталь МN.

а) б)

Рис. 49 Пересечение плоскости общего положения с горизонтальной плоскостью: а) в аксонометрической проекции; б) на эпюре

Теперь рассмотрим случай построения линии пересечения двух плоскостей, когда одна из плоскостей α задана следами, а другая β – треугольником АВС. Построение показано на рис.50. Для определения положения линии пересечения К₁ и К₂ заданных плоскостей возьмём две вспомогательные горизонтальные плоскости (γ₁ и γ₂), пересекающие каждую из плоскостей α и β. При пересечении заданных плоскостей плоскостью γ₁ получаем прямые с проекциями А'1', А"1", и h₁' , h₁^".

Эти прямые, расположенные в плоскости γ₁, в своём пересечении определяют первую точку К₁ линии пересечения плоскостей α и β.

Введя далее плоскость γ₂ , получаем в её пересечении с плоскостями α и β прямые с проекциями 2^'3', 2"3" и h₂', h₂". Эти прямые, расположенные в плоскости γ₂, в своём пересечении определяют вторую точку К₂, общую для α и β. Таким образом определена линия пересечения (К₁^'К₂^' – её горизонтальная проекция, К₁^"К₂^" – её фронтальная проекция) заданных плоскостей α и β.

Рис. 50 Построение линии пересечения плоскостей

Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых линий с плоскостью приведено на рис. 51. В качестве плоскостей фигурируют треугольники АВС и DEF.

Прямая К₁К₂ построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника АВС с плоскостью треугольника DEF. Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость α, проведённая через АС, пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 1"2" и 1'2'. В пересечении проекций 1'2' и А'С' получена горизонтальная проекция К₁^'. Затем построена К₁^". Аналогичным образом, используя вспомогательную

Рис. 51 Пересечение треугольников

фронтально-проецирующую плоскость β, найдены проекции точки К₂^', К₂^". Видимость треугольников определена методом конкурирующих точек.

3. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей

Чтобы построить плоскость, перпендикулярную заданной, её нужно провести через перпендикуляр к этой плоскости.

Пример1:

Плоскость задана треугольником АВС. Через прямую МN провести плоскость, перпендикулярную треугольнику АВС (рис.52).

Рис. 52 Построение плоскости, перпендикулярной заданной

Мы знаем, что плоскость может быть задана пересекающимися прямыми, поэтому для построения плоскости, перпендикулярной заданной из конца заданного отрезка (а именно из точки N) восстановим перпендикуляр к заданной плоскости (треугольнику АВС). Искомая плоскость будет определяться прямой МN и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра в плоскости треугольника строим горизонталь h и фронталь f. Затем из горизонтальной проекции точки N' проводим N'F' перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h'. А из фронтальной проекции точки N" проводим N"F" перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f".Тогда NF – перпендикулярен к плоскости АВС. Плоскость, заданная пересекающимися прямыми МN и NF, перпендикулярна плоскости треугольника АВС, так как проходит через перпендикуляр к нему.

Пример 2:

Плоскость α задана следами (рис.52). Через точку А провести плоскость β, перпендикулярную α.

Рис. 53 Построение следов плоскости, перпендикулярной заданной

Через точку А проводим прямую, перпендикулярную заданной плоскости α. Для этого из горизонтальной проекции точки А' восстанавливаем перпендикуляр к горизонтальному следу плоскости h_0α, а из фронтальной проекции точки А" – к фронтальному f_0α. Чтобы искомая плоскость β была перпендикулярна заданной плоскости α, она должна проходить через восстановленный перпендикуляр. Находим горизонтальный Н и фронтальный F следы перпендикуляра. Выбрав произвольным образом (т.к. через прямую можно провести бесконечное множество плоскостей) точку схода следов Х_0β, строим фронтальный след плоскости β – f_0β, проведя его через F и Х_0β. Горизонтальный след h_0β получим соединив Х_0β и Н. Плоскость β перпендикулярна заданной плоскости α, т.к. проходит через перпендикуляр к плоскости.