§11. Производные и дифференциалы высших порядков
Рассмотрим
отображение
.
Если оно дифференцируемо, то
.
Будем считать, что производная задана
не в отдельной точки, а на всём
или в некоторой его подобласти. Учитывая
изменение производной от точки к точке,
получаем отображение
.
Данное отображение, в свою очередь, тоже
может быть дифференцируемым, его
производная называется второй производной
исходного отображения, при этом
.
Такую процедуру можно продолжить и
получить
.
Рассмотрим случай
скалярной функции нескольких переменных
.
Условие дифференцируемости её производной
запишется виде
,
при этом второе слагаемое называется
вторым дифференциалом
.
Он является величиной
более высокого порядка малости, чем
первое
,
если оно не обращается в ноль.
Вспомним, что
,
тогда
,
где вектор
имеет координаты
,
таким образом,
.
Как мы далее увидим, при достаточно
естественных предположениях, эта
квадратичная форма является симметричной.
Теорема. Если в некоторой точке существуют непрерывные смешанные производные, то они не зависят от порядка дифференцирования.
Доказательство.
Проведём
доказательство для второй производной
функции двух переменных
.
В дальнейших выкладках использован тот
факт, что существование вторых производных
влечёт непрерывность первых в некоторой
окрестности рассматриваемой точки.
Пусть
,
где
.
Тогда, по теореме Лагранжа,
где
.
В то же время,
,
где
.
Тогда, по теореме Лагранжа,
,
где
.
Так как число – одинаковое в обоих случаях, мы получаем равенство
.
Случай производных произвольного порядка вытекает из приведённых выше рассуждений и определения производных высших порядков.
§12. Теорема о конечном приращении
Для дальнейшего,
хотелось бы получить аналог формулы
Лагранжа
,
но его в многомерном случае получить
не удаётся. Однако удаётся получить
обобщение его следствия.
Теорема о конечном
приращении.
Пусть во всех точках отрезка
в банаховом пространстве задано
дифференцируемое отображение
,
причём во всех точках данного отрезка
выполняется неравенство
,
тогда
.
Доказательство.
Пусть
,
тогда, для достаточно малого
,
будет выполняться неравенство
.
Разделим отрезок
пополам. Так как
,
найдётся такая половина отрезка, для
которой
,
т.е.
.
Продолжая эту
процедуру, получаем последовательность
вложенных друг в друга отрезков
,
для которых
и выполняется
неравенство
.
Расстояние между
и
– стремится к нулю, следовательно, в
силу
замкнутости
отрезка
.
В силу дифференцируемости
отображения в точке
,
можем записать
,
,
откуда
,
так как
в силу того, что
.
Таким образом, должно выполняться неравенство:
,
откуда
для достаточно
больших
.
Получилось противоречие, из которого
и следует требуемое утверждение.
Теорема доказана.
§13. Ряд и формула Тейлора
Ряд Тейлора для функции одной переменной имеет вид:
.
Для многомерного случая эта формула записывается аналогично:
,
где использовано
обозначение
.
Формула Тейлора,
по аналогии с одномерным случаем,
запишется в виде:
.
Введём обозначение
,
тогда последнюю формулу можно записать
в виде
.
Вычислим производную
оператора
:
.
Здесь мы воспользовались симметричностью
оператора производной, которая следует
из независимости частных производных
от порядка
дифференцирования.
Для доказательства
формулы Тейлора надо доказать, что
.
Доказательство проведём по методу
математической индукции. База индукции
следует из непрерывности отображения
.
Пусть
,
тогда норма, которую нужно оценить,
равна
.
Но
по индуктивному предположению. Применяем
его к
,
используя теорему о конечном приращении
и приведённую выше формулу для
,
получаем требуемую оценку.