§4. Функции. Принцип сжимающихся отображений

Рассмотрим функции (однозначные отображения) из одного метрического пространства в другое: , т.е. ставящие в соответствие каждому элементу из единственный элемент из .

Замечание. Подмножество метрического пространства является метрическим пространством относительно той же метрики, при этом замкнутое подмножество полного метрического пространства является полным.

Можно ввести понятие предела функции.

Определение. Говорят, что , когда для такое, что если то .

Напомним, что (проколотая окрестность точки ) это без самой точки .

Упражнение. Чем это определение отличается от одномерного случая?

Определение. Отображение функции называется непрерывным, если .

Упражнение. Какие результаты из одномерной теории пределов функций и теории непрерывных функций переносятся на случай отображений метрических пространств?

Для решения уравнений в метрических пространствах и для других разделов, например, для теории дифференциальных уравнений, важной является теорема о сжимающем отображении.

Определение. Отображение из одного метрического пространства в другое называется сжимающим, если существует такое число , что для любых выполняется неравенство .

Определение. Неподвижная точка отображения множества в себя это точка , для которой выполнено равенство .

Теорема. Сжимающее отображение полного метрического

пространства в себя имеет единственную неподвижную точку.

Доказательство.

Пусть – полное метрическое пространство, – сжимающее отображение. Возьмём . Построим последовательность в с помощью рекуррентного соотношения , т.е.

Надо доказать, что данная последовательность будет сходящейся и что её предел будет неподвижной точкой отображения .

Существование предела докажем, опираясь на полноту пространства, т.е. нужно доказать, что последовательность является фундаментальной. Оценим . По неравенству треугольника можно записать:

Воспользуемся тем, что отображение сжимающее.

,

,

,…,

_откуда

.

Таким образом, для любого существует такое , что для всех выполняется неравенство , т.е. последовательность фундаментальна, поэтому должна сходится к некоторой точке .

Докажем, что это неподвижная точка. Используем неравенство треугольника . Первое слагаемое в правой части неравенства стремится к нулю, так как – предел последовательности , второе – так как , а для последнего имеем неравенство , поэтому оно тоже стремиться к нулю.

Таким образом, число должно стремиться к 0 при , но оно не зависит от , поэтому должно равняться нулю, откуда , т.е. – неподвижная точка.

Докажем, что эта точка единственная. Предположим, что существуют две неподвижные точки: x и y. Из свойства сжимаемости мы имеем , но , , так как эти точки – неподвижные, поэтому должно выполняться неравенство

, откуда , т.е. .

Теорема доказана.

Неподвижная точка в практических применениях даёт решение уравнения . Например, если идёт речь о дифференцируемой функции одного переменного, то можно записать равенство .

Таким образом, если на некотором промежутке выполняется неравенство , и если отображает этот промежуток в себя, то существует неподвижная точка y этого отображения, при этом она единственная и может быть найдена методом последовательных приближений.

Пример: Рассмотрим функцию на промежутке . Легко видеть, что данная функция отображает промежуток в себя и на нём , откуда следует, что отображение сжимающее с . Следовательно, применима теорема, т.е. на данном промежутке существует единственное решение уравнения решения , которое может быть сколь угодно приближено с помощью последовательных приближений , , , и т.д.

Упражнение. Оценить точность - го приближения.