22.4. Однопродуктовые отраслевые модели развития и размещения

Транспортная модель

Простейшая однопродуктовая модель развития и размещения производства представляет собой открытую модель транспортной задачи линейного программирования на минимум затрат. В ней учитываются затраты на производство продукции и транспортировку. Спрос на продукцию различных потребителей известен. Кроме того, известны предполагаемые пункты (объекты) производства продукции, включающие действующие предприятия, проектируемые и те, которые подлежат реконструкции. Максимальная мощность каждого объекта задана. Причем суммарная мощность всех объектов намного превышает суммарную потребность в данной продукции. Таким образом, возникает свобода выбора поставщиков с более низким уровнем затрат на производство и доставку продукции.

Постановка задачи.

Рассмотрим производство и распределение одного вида продукции. Имеется «п» потребителей и «т» предполагаемых пунктов (объектов) производства продукции.

Пусть известны:

b_i – потребность в данном продукте i-го пункта;

а_i – верхний предел мощности i-го объекта производства;

c_ij – затраты на производство и доставку единицы продукта от j-го объекта до i-го потребителя.

Требуется определить показатели Х_ij – величины поставок i-го поставщика j-му потребителю с целью получения минимума суммарных затрат. Тогда мощность предприятия в i-м пункте

.

Модель задачи

при условиях

;

.

Эта модель транспортной задачи может быть решена с помощью любого известного алгоритма. В результате решения получим оптимальную схему транспортных связей Х_ij и вариант размещения производства: в пунктах, которые в оптимальной схеме окажутся связанными с реальными потребителями, целесообразно развивать производство мощностью а в пунктах, прикрепившихся к фиктивному потребителю, развитие производства нежелательно.

Однако при таком подходе обнаруживается ряд недостатков. Тот факт, что мощность предприятия определяется как сумма поставок реальным потребителям, может привести к решению, недопустимому с экономической точки зрения. Это происходит, если мощность предприятия окажется как бы «разорванной» – часть продукции идет к реальным потребителям, часть – фиктивным. Можно найти такой выход из этого положения: объекты, у которых поставка фиктивному потребителю не превышает 10–20 % от верхнего предела мощности, включают в оптимальный план развития по полной мощности; а объекты, у которых суммарные поставки реальным потребителям не превышают 20–30 %, исключают из рассмотрения.

Таким образом, решение представленной задачи может дать самое общее представление о характере размещения предприятий отрасли при довольно грубых предположениях, хотя и не отрицает возможности использования этой модели на начальных предварительных этапах исследований.

Вариантная постановка задачи (целочисленная модель)

Нередко возникают ситуации, когда мощность предприятия формируется за счет крупных, неделимых агрегатов и изменяется дискретно, принимая только вполне определенные значения, кратные составляющим ее агрегатам. В этом случае функция, отражающая зависимость затрат от объема производства будет представлять дискретный набор точек, соответствующих дискретно меняющимся значениям мощности. Получаем задачу целочисленного программи­рования.

Такие же задачи возникают и тогда, когда для каждого пункта рассчитывается конечное число проектов строительства предприятий различной мощности и оптимальная мощность должна совпадать с мощностью одного из проектов.

Постановка задачи. Имеется т возможных пунктов производства и п пунктов потребления. В каждом пункте потребления известен перспективный спрос b_i (i = 1, 2, …, п). Задана матрица транспортных затрат (i = 1, 2, …, т; j = 1, 2, …, п). В каждом из возможных пунктов производства задано k_i вариантов строительства предприятий, пронумерованных в порядке возрастания их мощности Х_i . Каждому варианту соответствует значение функции _i (X_i), характеризующей зависимость приведенных затрат на продукцию от объема производства в пункте i.

Требуется определить показатели Х_ij – величины поставок i-го поставщика j-му потребителю с целью получения минимума суммарных затрат на производство и транспортировку продукции.

Модель задачи.

при условиях

;

,

где – мощность предприятия в i-м пункте по k-му проектному варианту.

Это задача целочисленного программирования.

Одним из наиболее удачных (с практической точки зрения) способов решения задач развития и размещения в целочисленной постановке является предложенный В.Н. Гофманом метод «коэффициентов интенсивности».

Суть этого метода состоит в следующем.

Решается открытая транспортная задача с максимально возможными мощностями для всех пунктов производства Х_i = (i = 1, 2, …, т) и ограничением

.

В оптимальном решении могут оказаться поставщики (предприятия), связанные с реальными потребителями и фиктивными (строки таких предприятий в транспортной модели называются «смешанными»). Для всех смешанных строк вычисляются коэффициенты интенсивности как отношения сумм поставок реальным потребителям к мощности

.

Очевидно, что коэффициент интенсивности для предприятия связанного с реальными потребителями равен 1, а с фиктивными – 0. Для смешанных строк коэффициент больше нуля, но меньше единицы.

Далее, среди всех смешанных строк выбирается та, которой соответствует наименьший коэффициент. Она называется переходной. Для этой строки осуществляется переход на меньшую мощность, что ведет, естественно, к увеличению затрат на единицу продукции в этой строке и уменьшению ее конкурентоспособности, так что по тенденции она на последующих итерациях получит еще меньший, а может быть и нулевой коэффициент интенсивности. Затем вновь решается открытая транспортная модель, вычисляются коэффициенты, выбирается очередная переходная строка и т.д. Процесс итерационный, в конечном счете все коэффициенты будут равны 0 или 1. Выбор в качестве переходной строки, обладающей наименьшим коэффициентом интенсивности, основан на гипотезе, что вероятность вхождения такого предприятия в оптимальный план крайне мала.

Рассмотрим алгоритм метода на примере.

Постановка задачи.

Имеется четыре пункта потребления однородного продукта (№ 1, № 2, № 3, № 4). Спрос потребителей на конечный год планового периода известен и составляет соответственно: 15 т, 5 т, 10 т, 10 т. К моменту начала расчетов в отрасли существует всего два предприятия А₁ и А₂, мощность которых составляют: А₁ – 15 т, А₂ – 15 т. Как видим, необходимо развитие отрасли, так как спрос на перспективу составит 40 т. Предприятия А₁ и А₂ могут расширяться за счет добавления новых технологических линий, каждая из которых обеспечивает увеличение мощности на 5 т. При этом возможно расширение на одну или две технологические линии, не более. Новое предприятие проектируется построить в пункте А₃ мощностью 15 т или 20 т.

Все варианты возможного функционирования предприятий на перспективу и их показатели приведены в табл. 22.2.

Таблица 22.2

Предприятия	Варианты мощности (т)	Приведенные затраты (руб/т)
А1	15 20 25	24 21 20
А2	15 20 25	23 20 19
А3	15 20	22 21

Потребители продукции и все предполагаемые поставщики связаны транспортной сетью. Затраты на перевозки представлены в табл. 22.3.

Таблица 22.3

Поставщики	Затраты на перевозку к потребителям (руб/т)
	№ 1	№ 2	№ 3	№ 4
А1	7	3	2	3
А2	3	2	4	6
А3	1	4	5	4

Требуется определить оптимальный план развития отрасли (где строить и какой мощности) с целью получения минимума суммарных затрат на производство и транспортировку готовой продукции, а также установить оптимальные связи между производителями и потребителями.

Алгоритм. Строим расчетную матрицу, т.е. модель транспортной задачи в табличной форме (табл. 22.4). При этом для каждого предприятия поставщика берется вариант с максимальной мощностью: А₁ – 25 т, А₂ – 25 т, А₃ – 20 т. Суммарная мощность составит 70 т. Тогда спрос фиктивного потребителя равен 30 т (предложение 70 т минус спрос 40 т). В левом верхнем углу каждой клетки таблицы

Таблица 22.4

Оптимальный план (Итерация I)

Постав­щики	Мощность, т	Потребители и их спрос, т					Коэффициент интенсивности
		№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	Фиктивный
		15	5	10	10	30
А1	25	27	23	22	23	0	20/25
				10	10	5
А2	25	22	21	23	25	0	20/25
		15	5			5
А3	20	22	25	26	25	0	0
						20

проставлены суммарные затраты на производство и транспортировку 1 т продукции. Находим оптимальный план для этой модели. Оптимальные поставки – в середине клетки табл. 22.4. Итерация I за­кончена.

Затем определяем коэффициент интенсивности для каждой строки. Строка с минимальным коэффициентом будет переходной. Здесь два значения одинаковые k₁= 0,8 и k₂ = 0,8. Выбираем любую строку, например А₂. Это означает, что в пункте А₂ рассмотрим другой вариант строительства с меньшей мощностью – 20 т. Соответственно меняются затраты в этой строке и спрос фиктивного потребителя. Результаты нового расчета приведены в табл. 22.5.

Таблица 22.5

Оптимальный план (Итерация II)

Постав-щики	Мощ-ность, т	Потребители и их спрос, т					Коэффициент интенсивности
		№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	Фиктивный
		15	5	10	10	25
А1	25	27	23	22	23	0	20/25
				10	10	5
А2	20	23	22	24	26	0	5/20
			5			15
А3	20	22 15	25	26	25	0	15/20
						5

Наименьший коэффициент интенсивности имеет снова строка А₂. По этой строке переходим к следующему варианту с мощностью 15 т и корректируем затраты и спрос фиктивного потребителя. Информацию заносим в табл. 22.6 и снова определяем оптимальный план и т.д., пока все коэффициенты интенсивности не примут целое значение 0 или 1. Для решения данной задачи потребовалось четыре итерации.

Таблица 22.6

Оптимальный план (Итерация III)

Постав-щики	Мощ-ность, т	Потребители и их спрос, т					Коэффициент интенсивности
		№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	Фиктивный
		15	5	10	10	20
А1	25	27	23 5	22	23	0	1
				10	10
А2	15	26	25	27	29	0	0
						15
А3	20	22 15	25	26	25	0	15/20
						5

Таблица 22.7

Оптимальный план (Итерация IV)

Постав-щики	Мощ-ность, т	Потребители и их спрос, т					Коэффициент интенсивности
		№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	Фиктивный
		15	5	10	10	25
А1	25	27	23 5	22	23	0	1
				10	10
А2	15	26	25	27	29	0	0
						15
А3	15	23 15	26	27	26	0	1

На четвертой итерации коэффициенты равны либо 0, либо 1, получено оптимальное целочисленное решение поставленной задачи.

Анализ решения. В пункте А₁ необходимо расширить производство и выбрать вариант модернизации с мощностью 25 т.

В пункте А₂ необходимо ликвидировать предприятие, т.к. в силу затрат на производство и транспортировку продукция этого предприятии не выгодна для реальных потребителей и вся уходит фиктивному потребителю.

В пункте А₃ необходимо строить новое предприятие с мощностью 15 т.

Кроме того, решение задачи дает оптимальное закрепление поставщиков и потребителей. Предприятие А₁ должно поставлять продукцию потребителям № 2, № 3, № 4. А вновь созданное предприятие А₃ – потребителю № 1.

Оптимальное решение задачи развития и размещения производства носит рекомендательный характер, дает необходимую информацию для окончательных решений.