14.3. Модель Бертрана для дифференцированного продукта

Модель показывает, что дифференциация продукта смягчает ценовую конкуренцию. При этом соперничество фирм не ведет к полному исчезновению их прибылей. Пусть функция спроса первого дуополиста имеет вид [5]

где a₁, b₁, z₁ – положительные константы.

При этом 0 < z₁ < b₁ и a₁ > с(b₁ – z₁).

Условие z₁ < b₁ означает, что если цены товаров обеих фирм вырастут на бесконечно малую величину , объем спроса на оба товара сократится. Условие a₁ > AC(b₁ – z₁) означает, что если обе фирмы назначат цены на уровне предельных издержек, объемы спроса на их товары будут положительными.

Естественно, что при понижении цены р₁ первый дуополист увеличит выпуск, а понижение цены конкурента наоборот вызывает снижение выпуска первого дуополиста. Функция прибыли дуополиста имеет вид

где с – затраты предприятия на единицу продукции.

Следует заметить, что при принятии дуополистами решений о ценообразовании ими будет учитываться уровень цены, установленный на предыдущем шаге. При этом в силу предпосылок модели Бертрана дуополисты принимают решения при нулевых коэффициентах вариации.

Таким образом, необходимое условие максимизации прибыли примет вид

Оно задаёт кривую реакции первого дуополиста

По аналогии можно представить функцию спроса и кривую реакции для второго дуополиста.

14.4. Модель ценовой конкуренции ф. Эджуорта

Одно из решений парадокса Бертрана предложил Ф. Эджуорт. Он ввел ограничение на величину производственной мощности дуополистов.

Предпосылки модели [5]:

1. Предельные затраты на производство сверх существующего уровня мощности бесконечно велики.

2. В начальный момент времени t = 0 рынок дуополии находится в состоянии равновесии по Бертрану, то есть р₀ = с.

3. При равенстве цен мощность каждого дуополиста обеспечивает половину рыночного спроса.

.

4. Если один из дуополистов работает на полную мощность по установившейся на рынке цене, но рыночный спрос полностью не удовлетворён, то второй дуополист будет макисимизировать свою прибыль, действуя как монополист в отношении остаточного спроса.

Пусть в момент времени t = 1 второй дуополист продолжает работать на полную мощность при цене, равной предельным из­держкам. Тогда

Первый дуополист повышает цену на свою продукцию, исходя из функции остаточного спроса.

.

Таким образом, в момент времени t = 1 функция остаточного спроса на продукцию первого дуополиста примет вид

.

Отсюда

,

что позволяет определить функцию совокупного дохода как

Функция прибыли первого дуополиста

и необходимое условие экстремума

позволяют установить оптимальный объём выпуска

и уровень цены (р₁₁ > с)

обеспечивающие максимум прибыли первого дуополиста. При этом фирма получит положительную прибыль

Однако у второго дуополиста есть гораздо более выгодный вариант стратегического решения. Пусть в следующий момент времени t = 2 второй дуополист повышает цену до уровня

где  – бесконечно малая величина ( > 0). В таком случае он, по-прежнему работая на полную мощность и выпуская в два раза больше продукции, чем его конкурент, обеспечит себе положительную прибыль

,

которая фактически (при   0) почти в два раза превысит уровень прибыли первого дуополиста.