3. Проверка статистических гипотез

3.1. Основные положения

При проведении статистического исследования возникает необходимость в формулировании и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез), например:

• можно ли считать, что конструктивная доработка или технологическое усовершенствование действительно улучшило качество изделий;

• подчиняется ли полученная выборка нормальному или какому-либо другому закону распределения;

• можно ли считать две или более взятых выборок принадлежащих одной генеральной совокупности;

• является ли технологический процесс налаженным или разлаженным.

• какова величина неизвестных параметров, определяющих состояние стохастической системы и т.д.

Для проверки сделанных предположений выдвигаются статистические гипотезы. Отличие статистической гипотезы от просто гипотезы в том, что статистическая гипотеза выдвигается относительно вида распределения или параметров известного распределения случайной величины.

Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющейся выборкой х₁, х₂, ..., x_n осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез.

Результат такого сопоставления может быть как отрицательным (данные наблюдения противоречат выдвинутой гипотезе, следовательно, от нее надо отказаться), так и положительным (наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, и поэтому ее можно принять в качестве одного из решений). Принятая гипотеза будет рассматриваться как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение.

Статистические критерии проверки гипотез разнообразны, но есть единая последовательность действий построения критерия, которая укладывается в 5 шагов [1].

1-й шаг. Выдвигается основная (или проверяемая) гипотеза Н₀. Гипотеза Н₁, которая противоречит основной Н₀, называется альтернативной, или конкурирующей.

2-й шаг. Задается уровень значимости критерия . Любое статистическое решение, принимаемое на основе ограниченного ряда наблюдений, сопровождается, хоть и малой, вероятностью ошибочного заключения. Именно в доле случаев  гипотеза Н₀ может быть отвергнута, при условии, что она верна, или, наоборот, в доле случаев  мы можем принять гипотезу Н₀, в то время как она ошибочна. При фиксированном объеме выборки n величину вероятности  или  мы можем выбирать самостоятельно. Если есть возможность сколь угодно увеличивать n, то теоретически можно добиться каких угодно малых ошибок  и  при любой фиксированной конкурирующей гипотезе Н₁.

Величину  называют уровнем значимости, размером критерия или ошибкой первого рода. Это вероятность отвергнуть основную гипотезу Н₀ при условии, что она верна.

Чем весомее для исследователя потери от ошибочного отвержения гипотезы Н₀, тем меньшее  необходимо выбирать. Обычно пользуются стандартными значениями  (0.1; 0.05; 0.025; 0.01; 0.005; 0.001).

3-й шаг. Задается некоторая функция результатов наблюдения – критическая статистика

Y_кр.= Y( х₁, х₂, ..., х_n).

Как функция результатов наблюдений эта критическая статистика также является случайной величиной и в предположении справедливости Н₀ подчинена некоторому хорошо изученному закону распределения с известной функцией плотности вероятности W(Y_кр).

4-й шаг. Из статистических таблиц распределения W(Y_кр). находятся квантили уровня  /2 и 1-/2 или процентные точки _{(1-/2)100%} и _{(/2)100%}, являющиеся соответственно нижней _кр.н и верхней _кр.в критическими точками (границами). Они делят всю область допустимых значений _кр на области:

• неправдоподобно малых (I);

• правдоподобных (II);

• неправдоподобно больших (III).

Области принятия и отвержения гипотезы Н₀.

Область принятия гипотезы Н₀ определяется как доверительный интервал для _кр, который формируется на основе распределения статистики W(Y_кр). при уровне доверительной вероятности р = 1 - . Различают односторонние и двухсторонние критерии. Для одностороннего критерия область принятия основной гипотезы может иметь ограничение только с одной стороны (сверху или снизу). При этом область значений статистики _кр разбивается на две: область правдоподобных и область неправдоподобно больших или неправдоподобно малых значений. Для двухстороннего критерия область принятия гипотезы Н₀ имеет два ограничения – сверху и снизу.

5-й шаг. Определяется наблюденное (расчетное) значение критической статистики Y_расч подстановкой в Y_кр конкретных выборочных значений х₁, х₂, ..., х_n или некоторых функций от них. Если окажется, что Y_расч принадлежит области правдоподобных значений, то гипотеза Н₀ верна, т.е. не противоречит выборочным данным. В противном случае Н₀ отвергается с ошибкой первого рода . Отвержение Н₀ означает, что _расч не подчиняется закону распределения W(Y_кр). Ошибка  может возникнуть тогда, когда принимается Н₀, в то время когда она неверна.  называется ошибкой второго рода, а (1-) – мощностью критерия.

Можно сказать, что статистическим критерием называют случайную величину с определенной функцией плотности вероятности, которая служит для проверки гипотез. Если проверяемая гипотеза Н₀ сводится к проверке точного равенства, то гипотеза называется простой, в других случаях мы имеем дело со сложной или вложенной гипотезой

Наиболее часто при статистическом анализе проверяются гипотезы с использованием следующих критериев:

• c²-критерий Пирсона, l-критерий Колмогорова и nw²-критерий Мизеса-Смирнова для проверки гипотезы о законе производственного распределения;

• t-критерий Стьюдента для проверки гипотез о однородности средних двух выборок;

• F-критерий Фишера для проверки гипотез о однородности дисперсий двух выборок;

• G-критерий Кохрана и критерий Барлетта для проверки гипотез о однородности нескольких дисперсий;

• непараметрический критерий Манна-Уитни для проверки гипотезы о том, что выборки взяты из одной совокупности с определенным произвольным законом распределения.

Рассмотрим перечисленные статистические критерии.